Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?2,5 m0,5 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 6 mP1 = 15 kN в 2,5 mP2 = 55 kN в 3 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m5 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 10 mP = 60 kN в 2 mw = 3 kN/m от 1 до 7 m
RB = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
M0​ = 20 kN·mAB4 m1 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 20 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 4 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mM0 = 20 kN·m по часовой стрелке, в точке 4 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 3 kN/mP = 30 kNABсечение0,5 m3,5 m1 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 30 kN в 4 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH40 kN40 kN20 kN4 × 4 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓C: 40 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB10 kN25 kN6 m1 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 5 kN/mδL = 8 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δmax в середине пролёта.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 3 kN/mABδ3 m

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту hreq сечения.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm
hreq = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 4 m20 × 60 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 45 kNL = 3 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 45 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 33,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m3 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·2,5 + 55·3
RB = 202,5/6 = 33,75 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 33,75 = 36,25 kN

Ответ

RB = 33,75 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 19,2 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1 m1 m5 m3 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·2 + 3·6·4
RB = 192/10 = 19,2 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 19,2 = 58,8 kN

Ответ

RB = 19,2 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 4 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/5 = 4 kN (вверх)
RA = −RB = −4 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит RA и сосредоточенный момент.

Mx = RA·a + M0 = −4·4 + 20 = 4 kN·m

Ответ

Mx = 4 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 6,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·4 + 3·5·2,5
RB = 157,5/5 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 31,5 = 13,5 kN
w = 3 kN/mP = 30 kNABRA​ = 13,5RB​ = 31,5сечение0,5 m3,5 m1 m

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 13,5·0,5 − 3·0,5·0,25 = 6,375 kN·m

Ответ

Mx = 6,375 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 80 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 53,33 kN (T), DE: 53,33 kN (T), FG: 106,7 kN (C), GH: 106,7 kN (C), AF: 100 kN (C), HE: 66,67 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 33,33 kN (T), HC: 66,67 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = −18,75 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB10 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 − 25·4 → Cy = −15 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −15 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−15/0,6247 = 24,01 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(24,01)·0,7809 = −18,75 kN

Ответ

FAC = −18,75 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δmax = 23,39 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 23,39 mm

Ответ

δmax = 23,39 mm
8.Прогиб балки

Ответ: hreq = 140,3 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Требуемый момент инерции

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2,876 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,876 × 10⁷/125)1/3 = 140,3 mm

Ответ

hreq = 140,3 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 6,909 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2000² = 6909 N = 6,909 kN

Ответ

Pcr = 6,909 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 59,51 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,51 mm

Ответ

d = 59,51 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 201,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis