Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 6 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 8 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 60 kN в 6 mM = 10 kN·m (по часовой стрелке) в 8 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 15 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 60 kN в 4 m

M_A = kN·m

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 15 kN в 4 mw = 4 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 40 kN в 3,5 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 60·6 − 10 = 0

R_B = 370/10 = 37 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 60 − 37 = 23 kN

Ответ

R_A = 23 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 490 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 75·3,333 + 60·4 = 490 kN·m

Ответ

M_A = 490 kN·m

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −77 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −15·3 = −45 kN·m

w: −4·4²/2 = −32 kN·m

M_x = −45 − 32 = −77 kN·m

Ответ

M_x = −77 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 55,13 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 202,5/5 = 40,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 40,5 = 24,5 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 24,5·3,5 − 5·3,5·1,75 = 55,13 kN·m

Ответ

M_x = 55,13 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 13,5 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 27 = 18 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0,8944 = −30,19 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−30,19)·0,4472 = 13,5 kN

Ответ

F_AC = 13,5 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 14 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 + 20·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 14 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел C

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14/0,7071 = −19,8 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19,8)·0,7071 = 14 kN

Ответ

F_AC = 14 kN (растяжение)

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 8,448 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 4,96 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 3,488 mm

Сложите

δ = 4,96 + 3,488 = 8,448 mm

Ответ

δ = 8,448 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 10,46 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,046 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,46 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 10,46 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 17,8 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17,8 kN

Ответ

P_cr = 17,8 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 15,67 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/20 = 210

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Ответ

σ_cr = 15,67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis