Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w от стены до 4 m и сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mP = 55 kN в 2 mw = 12 kN/m от 0 до 4 m

M_A = kN·m

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 6 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 6 kN/mP = 50 kN в 3 m

M_A = kN·m

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 5 kN/m от 0 до 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 35 kN в 1 mw = 5 kN/m от 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 75 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 75 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 206 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 55·2 + 48·2 = 206 kN·m

Ответ

M_A = 206 kN·m

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 278 kN·m

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 24·5,333 + 50·3 = 278 kN·m

Ответ

M_A = 278 kN·m

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 17,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·1 − 5·1·0,5 = 17,5 kN·m

Ответ

M_x = 17,5 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 80 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 5·10·5

R_B = 285/10 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 28,5 = 56,5 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 56,5·5 − 35·(5 − 1) − 5·5·2,5 = 80 kN·m

Ответ

M_x = 80 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −25,46 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 → C_y = 18 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 18 = 27 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18/0,7071 = −25,46 kN

Ответ

F_BC = −25,46 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −37,73 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·7 − 5·2 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 33,75 = 6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Узел C

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,75/0,8944 = −37,73 kN

Ответ

F_BC = −37,73 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,006392 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,006392 rad

Ответ

θ_A = 0,006392 rad

Это 0,3662°.

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 245,5 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·20) = 9,248 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·9,248 × 10⁷/75)^1/3 = 245,5 mm

Ответ

h_req = 245,5 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 367,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1400² = 367173 N = 367,2 kN

Ответ

P_cr = 367,2 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 47,98 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Ответ

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis