Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w = 3 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?5 m5 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 10 mP = 40 kN в 5 mw = 3 kN/m от 0 до 10 m
MA = kN·m
2.Опорные реакции балокСложная
P = 50 kN, 45°Q = 55 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 3 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 2 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 4 mP = 50 kN в 3 m, θ = 45°Q = 55 kN в 2 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
M0​ = 20 kN·mAB2 m6 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 20 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM0 = 20 kN·m по часовой стрелке, в точке 2 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
10 kN35 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 0 m35 kN @ 12 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB35 kN4 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB50 kN15 kN6 m5 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN →
FBC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 5 kN/mP = 2 kNABδ3 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 2 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 1 kN/mABδ4,5 m

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту hreq сечения.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm
hreq = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 3 m30 × 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 15 kNL = 2 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 15 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 15 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 350 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m

Момент относительно стены

MA = P·a + W·x̄ = 40·5 + 30·5 = 350 kN·m

Ответ

MA = 350 kN·m
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 50,7 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 50·sin 45° = 35,36 kN
Ph = 50·cos 45° = 35,36 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·4 = 35,36·3 + 55·2 → RB = 54,02 kN
Ay = 35,36 + 55 − 54,02 = 36,34 kN
Ax = Ph = 35,36 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(35,36² + 36,34²) = 50,7 kN

Ответ

RA = 50,7 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = −5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/8 = 2,5 kN (вверх)
RA = −RB = −2,5 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только RA.

Mx = RA·a = −2,5·2 = −5 kN·m

Ответ

Mx = −5 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 45 kN, R2 = 55 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = −20, MC = 50, MD = 10, ME = −30, MF = −70 kN·m, MG = 0

Ответ

Отметка F: MF = −70 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −29,35 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26,25/0,8944 = −29,35 kN

Ответ

FAB = −29,35 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −51,83 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·5 + 15·3 → Cy = 49,17 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 49,17 = 0,8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −49,17/0,9487 = −51,83 kN

Ответ

FBC = −51,83 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 2,145 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(3EI) = 2000·3000³/(3·3,2 × 10¹³) = 0,5625 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,582 mm

Сложите

δ = 0,5625 + 1,582 = 2,145 mm

Ответ

δ = 2,145 mm
8.Прогиб балки

Ответ: hreq = 147,9 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Требуемый момент инерции

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2,697 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,697 × 10⁷/100)1/3 = 147,9 mm

Ответ

hreq = 147,9 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 80,57 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2100² = 80568 N = 80,57 kN

Ответ

Pcr = 80,57 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 43,37 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 43,37 mm

Ответ

d = 43,37 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 184,5, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis