Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w0​ = 20 kN/mP = 45 kNABRB​ = ?4 m1 m

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 20 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 4 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 45 kN в 4 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 35 kN, 40°Q = 50 kNABRA​ = ?1,5 m1,5 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 3 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 1,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 6 mP = 35 kN в 3 m, θ = 40°Q = 50 kN в 1,5 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 12 kN/mP = 50 kNABсечение0,5 m0,5 m2 m

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 50 kN в 1 mw = 12 kN/m от 0 до 3 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
10 kN/m60 kN20 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 0 m20 kN @ 6 m40 kN @ 2 m10 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB50 kN6 m5 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB40 kN15 kN4 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN →
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 20 kN/mP = 11 kNABδ2,5 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 11 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 15 kN/mP = 13 kNδL = 2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 13 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 3 m30 × 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 3 md = 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 52,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·1,667 + 45·4
RB = 52,67 kN
RA = 95 − 52,67 = 42,33 kN

Ответ

RB = 52,67 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 55,64 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 35·sin 40° = 22,5 kN
Ph = 35·cos 40° = 26,81 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·6 = 22,5·3 + 50·1,5 → RB = 23,75 kN
Ay = 22,5 + 50 − 23,75 = 48,75 kN
Ax = Ph = 26,81 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(26,81² + 48,75²) = 55,64 kN

Ответ

RA = 55,64 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = −62,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −50·0,5 = −25 kN·m
w: −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m
Mx = −25 − 37,5 = −62,5 kN·m

Ответ

Mx = −62,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 120 kN, R2 = 40 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −5, MD = 0, ME = −5, MF = −20, MG = 0

Ответ

Отметка B: MB = −60 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −46,58 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·5 → Cy = 41,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 41,67 = 8,333 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −41,67/0,8944 = −46,58 kN

Ответ

FBC = −46,58 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 26,25 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 + 15·2 → Cy = 17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 17,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17,5/0,5547 = −31,55 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−31,55)·0,8321 = 26,25 kN

Ответ

FAC = 26,25 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 38,83 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 11000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(3EI) = 11000·2500³/(3·3,99 × 10¹²) = 14,36 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 24,48 mm

Сложите

δ = 14,36 + 24,48 = 38,83 mm

Ответ

δ = 38,83 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 29,95 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 13000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 13000·2500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 10,69 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 19,27 mm

Сложите

δmax = 10,69 + 19,27 = 29,95 mm

Ответ

δmax = 29,95 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 78,96 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78,96 kN

Ответ

Pcr = 78,96 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 21,93 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Ответ

σcr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis