Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 12 kN/m в A до нуля в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mw₀ = 12 kN/m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP = 55 kN в 2,5 mw = 8 kN/m от 2 до 3 m

R_B = kN

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 35 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 23 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 4 mP = 35 kN в 2 m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 135 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 135 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 40 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3,333

R_B = 20 kN

R_A = 60 − 20 = 40 kN

Ответ

R_A = 40 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 39,38 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2,5 + 8·1·2,5

R_B = 157,5/4 = 39,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 39,38 = 23,63 kN

Ответ

R_B = 39,38 kN

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 22 kN, R₂ = 17 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 36 kN·m, M_D = 33, M_E = 26, M_F = 15, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 36 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 96 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·2 + 5·10·5

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 32 = 53 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 53·2 − 5·2·1 = 96 kN·m

Ответ

M_x = 96 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −35,36 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 15 = 25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0,7071 = −35,36 kN

Ответ

F_AB = −35,36 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −10,82 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·3 − 15·3 → C_y = 9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 9 = 21 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9/0,8321 = −10,82 kN

Ответ

F_BC = −10,82 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 16,81 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 23000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 23000·2000³/(3·4,6 × 10¹²) = 13,33 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 3,478 mm

Сложите

δ = 13,33 + 3,478 = 16,81 mm

Ответ

δ = 16,81 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 10,94 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Ответ

R_B = 10,94 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 9,646 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Ответ

P_cr = 9,646 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 71,49 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 71,49 mm

Ответ

d = 71,49 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 139,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis