Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P = 70 kNM = 60 kN·mABRA​ = ?2,5 m1 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 3,5 m от A. Найдите вертикальную реакцию RA, считая положительным направление вверх.

L = 6 mP = 70 kN в 2,5 mM = 60 kN·m (по часовой стрелке) в 3,5 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 3 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 6 mP = 45 kN в 2 mw = 3 kN/m от 0 до 5 m
RB = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 2 kN/mABсечение2,5 m1,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
45 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 12 m25 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB60 kN4 m3 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB25 kN10 kN4 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←
FAB = kN
7.Прогиб балкиСредняя
P = 21 kNABδ0,5 m1,5 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 0,5 m от A. Найдите прогиб δP под силой.

P = 21 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 2 kN/mδL = 1,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 2 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 55 kNL = 1 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 55 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 55 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 30,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣMA = 0: RB·6 − 70·2,5 − 60 = 0
RB = 235/6 = 39,17 kN

Равновесие по вертикали

RA = 70 − 39,17 = 30,83 kN

Ответ

RA = 30,83 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 21,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 3 kN/mP = 45 kNABRA​RB​2 m3 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2 + 3·5·2,5
RB = 127,5/6 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 21,25 = 38,75 kN

Ответ

RB = 21,25 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 3,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 4RB​ = 4сечение2,5 m1,5 m

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 4·2,5 − 2·2,5·1,25 = 3,75 kN·m

Ответ

Mx = 3,75 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 6 kN, R2 = 64 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 12, MC = 24, MD = −14, ME = −52, MF = −90 kN·m, MG = 0

Ответ

Отметка F: MF = −90 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 11,25 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45/0,9701 = −46,38 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−46,38)·0,2425 = 11,25 kN

Ответ

FAC = 11,25 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −26,55 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB25 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 − 10·2 → Cy = 1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 1,25 = 23,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −23,75/0,8944 = −26,55 kN

Ответ

FAB = −26,55 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δP = 6,629 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 21000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δP = Pa³/(3EI) = 21000·500³/(3·1,32 × 10¹¹) = 6,629 mm

Ответ

δP = 6,629 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,876 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 2,876 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 13,25 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13,25 kN

Ответ

Pcr = 13,25 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 66,42 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,42 mm

Ответ

d = 66,42 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 120,4, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis