Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?1,5 m0,5 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 4 mP1 = 15 kN в 1,5 mP2 = 25 kN в 2 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 10 kN, 60°Q = 40 kNABRA​ = ?1 m2 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1 m от A действует сила P, наклонённая под углом 60° к горизонтали, а на расстоянии 3 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 5 mP = 10 kN в 1 m, θ = 60°Q = 40 kN в 3 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
5 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 12 kN/mAB2 m2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите расстояние x0 от A до сечения, в котором изгибающий момент наибольший.

L = 4 mw = 12 kN/m от 0 до 2 m
x0 = m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB20 kN6 m1 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB10 kN15 kN5 m2 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN →
FBC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 12 kN/mδL = 5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δmax в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогиб балкиСложная
P = 9 kNABδ5 m1 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δmax балки.

P = 9 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 2,5 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 115 kNL = 5 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 115 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 115 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 18,13 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m2 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·4 = 15·1,5 + 25·2
RB = 72,5/4 = 18,13 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 18,13 = 21,88 kN

Ответ

RB = 18,13 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 23,47 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 10·sin 60° = 8,66 kN
Ph = 10·cos 60° = 5 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·5 = 8,66·1 + 40·3 → RB = 25,73 kN
Ay = 8,66 + 40 − 25,73 = 22,93 kN
Ax = Ph = 5 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(5² + 22,93²) = 23,47 kN

Ответ

RA = 23,47 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 47,5 kN, R2 = 47,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 85, MC = 150, MD = 195 kN·m, ME = 150, MF = 85, MG = 0

Ответ

Отметка D: MD = 195 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x0 = 1,5 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, приложена в x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·2·1
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 6 = 18 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с RA, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 18/12 = 1,5 m

Ответ

x0 = 1,5 m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 5,556 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·1 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,333/0,5145 = −6,479 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6,479)·0,8575 = 5,556 kN

Ответ

FAC = 5,556 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −20 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·2 + 15·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 16 = −6 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16/0,8 = −20 kN

Ответ

FBC = −20 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δmax = 3,052 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 3,052 mm

Ответ

δmax = 3,052 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 1,779 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 9000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Максимальный прогиб

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1,779 mm

Ответ

δmax = 1,779 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 635 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

Ответ

Pcr = 635 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 92,8 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,8 mm

Ответ

d = 92,8 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 215,5, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis