Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1,5 m0,5 m4 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 6 mP1 = 35 kN в 1,5 mP2 = 20 kN в 2 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m1 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 6 mP = 25 kN в 1 mw = 4 kN/m от 2 до 3 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 3 kN/mABсечение1,5 m3,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mABC8 m2 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент MB на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 4 kN/m от 0 до 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m
MB = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH35 kN15 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓D: 15 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB30 kN15 kN4 m3 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←
FBC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 2 kN/mABθ1,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θA сечения балки на опоре A в радианах.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогиб балкиСложная
P = 21 kNABδ3,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 2,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δmax балки.

P = 21 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 5 md = 60 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 3 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 15,42 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m4 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·1,5 + 20·2
RB = 92,5/6 = 15,42 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 15,42 = 39,58 kN

Ответ

RB = 15,42 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 23,17 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m1 m1 m3 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 4·1·2,5
RB = 35/6 = 5,833 kN
ΣFy = 0: RA = 29 − 5,833 = 23,17 kN

Ответ

RA = 23,17 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 7,875 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2,5
RB = 37,5/5 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7,5 = 7,5 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 7,5RB​ = 7,5сечение1,5 m3,5 m

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 7,5·1,5 − 3·1,5·0,75 = 7,875 kN·m

Ответ

Mx = 7,875 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: MB = −8 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·10·5
RB = 200/8 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

MB = −w·a²/2 = −4·2²/2 = −8 kN·m

Ответ

MB = −8 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 42,43 kN (C), HE: 28,28 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 7,071 kN (C), HC: 7,071 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −7,731 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 − 15·4 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,9701 = −7,731 kN

Ответ

FBC = −7,731 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: θA = 0,002131 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Угол поворота на конце

θA = wL³/(24EI) = 2·1500³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,002131 rad

Ответ

θA = 0,002131 rad

Это 0,1221°.

8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 3,795 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 21000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Максимальный прогиб

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 3,795 mm

Ответ

δmax = 3,795 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 35,88 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3500² = 35879 N = 35,88 kN

Ответ

Pcr = 35,88 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 34,27 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Ответ

σcr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis