Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 8 mP₂ = 10 kN в 9 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 2,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2,5 m до свободного конца в точке 4 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 35 kN в 1,5 mw = 4 kN/m от 2,5 до 4 m

R_B = kN

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 6 kN/m от 0 до 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 12 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 41 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·8 + 10·9

R_B = 410/10 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 41 = 9 kN

Ответ

R_B = 41 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 28,8 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 4·1,5 = 6 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 35·1,5 + 6·3,25

R_B = 72/2,5 = 28,8 kN

R_A = 41 − 28,8 = 12,2 kN

Ответ

R_B = 28,8 kN

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 8,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 18·0,5 − 6·0,5·0,25 = 8,25 kN·m

Ответ

M_x = 8,25 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 9 kN, R₂ = 81 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 18, M_C = 36, M_D = 54, M_E = −18, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −90 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −31,11 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·3 → C_y = 33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 33 = 22 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22/0,7071 = −31,11 kN

Ответ

F_AB = −31,11 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −3,281 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·1 − 10·4 → C_y = −1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −1,875 = 26,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1,875/0,4961 = 3,779 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(3,779)·0,8682 = −3,281 kN

Ответ

F_AC = −3,281 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 5,022 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 5,022 mm

Ответ

δ_max = 5,022 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,726 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 20,47 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1500² = 20470 N = 20,47 kN

Ответ

P_cr = 20,47 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 44,22 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Ответ

σ_cr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis