Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P = 65 kNM = 30 kN·mABRB​ = ?2 m4 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 6 m от A. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

L = 8 mP = 65 kN в 2 mM = 30 kN·m (по часовой стрелке) в 6 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 2 kN/mP = 45 kNABCRB​ = ?1,5 m1,5 m2 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 5 mP = 45 kN в 1,5 mw = 2 kN/m от 3 до 5 m
RB = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 70 kNP2​ = 25 kNAB3,5 m1,5 m1 m

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 6 mP1 = 70 kN в 3,5 mP2 = 25 kN в 5 m
Mmax = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mP = 55 kNABсечение4 m2 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 55 kN в 4 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB55 kN5 m4 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB45 kN30 kN8 m7 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →
FAB = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 5 kN/mδL = 3 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
P = 2 kNABδ2,5 m1,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите прогиб δmid в середине пролёта.

P = 2 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 5 m30 × 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 2 md = 30 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 20 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣMA = 0: RB·8 − 65·2 − 30 = 0
RB = 160/8 = 20 kN

Равновесие по вертикали

RA = 65 − 20 = 45 kN

Ответ

RB = 20 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 27,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 2·2 = 4 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·3 = 45·1,5 + 4·4
RB = 83,5/3 = 27,83 kN
RA = 49 − 27,83 = 21,17 kN

Ответ

RB = 27,83 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 116,7 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣMA = 0: RB·6 = 70·3,5 + 25·5
RB = 370/6 = 61,67 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 61,67 = 33,33 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P1: M = RA·3,5 = 33,33·3,5 = 116,7 kN·m
под P2: M = RB·1 = 61,67·1 = 61,67 kN·m

Наибольшее значение

Mmax = 116,7 kN·m (под P1)

Ответ

Mmax = 116,7 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 89,33 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 4·6·3
RB = 292/6 = 48,67 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 48,67 = 30,33 kN
w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​ = 30,33RB​ = 48,67сечение4 m2 m

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 30,33·4 − 4·4·2 = 89,33 kN·m

Ответ

Mx = 89,33 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 11 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 → Cy = 44 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 44 = 11 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −44/0,9701 = −45,35 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−45,35)·0,2425 = 11 kN

Ответ

FAC = 11 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = 6,825 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 + 30·2 → Cy = 46,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 46,88 = −1,875 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−1,875/0,2747 = 6,825 kN

Ответ

FAB = 6,825 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 54,79 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 54,79 mm

Ответ

δ = 54,79 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmid = 4,097 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 2000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·5,95 × 10¹¹) = 4,097 mm

Ответ

δmid = 4,097 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 8,883 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/5000² = 8883 N = 8,883 kN

Ответ

Pcr = 8,883 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 56,65 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Ответ

σcr = 56,65 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis