Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w0​ = 20 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?7 m1 m

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 20 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 7 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 8 mw0 = 20 kN/mP = 10 kN в 7 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​2,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 5 mP = 15 kN в 2,5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
M0​ = 55 kN·mAB5 m3 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 55 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM0 = 55 kN·m по часовой стрелке, в точке 5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 10 kN/mP = 60 kNAB1 m5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 6 mP = 60 kN в 1 mw = 10 kN/m от 0 до 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH10 kN10 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB45 kN30 kN8 m2 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →
FBC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
P = 29 kNABδ3 m3 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3 m от A. Найдите прогиб δP под силой.

P = 29 kNa = 3 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 4 kN/mδL = 2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 1,5 md = 20 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 3 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 54,58 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·2,667 + 10·7
RB = 35,42 kN
RA = 90 − 35,42 = 54,58 kN

Ответ

RA = 54,58 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 27,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​RB​2,5 m2,5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2,5 + 8·5·2,5
RB = 137,5/5 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN

Ответ

RA = 27,5 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 20,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 55/8 = 6,875 kN (вверх)
RA = −RB = −6,875 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит RA и сосредоточенный момент.

Mx = RA·a + M0 = −6,875·5 + 55 = 20,63 kN·m

Ответ

Mx = 20,63 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 80 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 10·6·3
RB = 240/6 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 40 = 80 kN

Где V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (80 − 60)/10 = 2 m

Наибольший момент

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 80 kN·m

Ответ

Mmax = 80 kN·m

Он достигается при x = 2 m от A.

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 7,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 12,5 kN (T), FG: 7,5 kN (C), GH: 12,5 kN (C), AF: 10,61 kN (C), HE: 17,68 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 3,536 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −50,31 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·2 + 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22,5/0,4472 = −50,31 kN

Ответ

FBC = −50,31 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δP = 8,156 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 29000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δP = Pa³/(3EI) = 29000·3000³/(3·3,2 × 10¹³) = 8,156 mm

Ответ

δP = 8,156 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 26,63 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2500⁴/(384·11000·6,944) = 2,663 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 26,63 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 26,63 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 4,922 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1050² = 4922 N = 4,922 kN

Ответ

Pcr = 4,922 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 179 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/20 = 105

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Ответ

σcr = 179 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis