Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 50 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 10 mP1 = 50 kN в 4 mP2 = 10 kN в 5 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m4 m1 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 8 mP = 35 kN в 7 mw = 4 kN/m от 2 до 6 m
RB = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 4 kN/mABсечение1 m4 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 4 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 10 kN/mP = 60 kNAB5 m1 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 6 mP = 60 kN в 5 mw = 10 kN/m от 0 до 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB55 kN4 m3 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB10 kN30 kN5 m4 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 8 kN/mδL = 2,5 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
P = 24 kNABδ4,5 m3,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 3,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δmax балки.

P = 24 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 5 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 4 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 35 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 50 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​4 m1 m5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·10 = 50·4 + 10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 25 = 35 kN

Ответ

RA = 35 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 38,63 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2 m4 m1 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·7 + 4·4·4
RB = 309/8 = 38,63 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 38,63 = 12,38 kN

Ответ

RB = 38,63 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 8 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2,5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10сечение1 m4 m

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 10·1 − 4·1·0,5 = 8 kN·m

Ответ

Mx = 8 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 80 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·5 + 10·6·3
RB = 480/6 = 80 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 80 = 40 kN

Где V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 40/10 = 4 m

Наибольший момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 40·4 − 10·4²/2 = 80 kN·m

Ответ

Mmax = 80 kN·m

Он достигается при x = 4 m от A.

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 10,31 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −41,25/0,9701 = −42,52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42,52)·0,2425 = 10,31 kN

Ответ

FAC = 10,31 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 8 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB10 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·4 + 30·4 → Cy = 32 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 32 = −22 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32/0,9701 = −32,98 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−32,98)·0,2425 = 8 kN

Ответ

FAC = 8 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 16,28 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 16,28 mm

Ответ

δ = 16,28 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 10,45 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 24000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Максимальный прогиб

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 10,45 mm

Ответ

δmax = 10,45 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 96,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Ответ

Pcr = 96,89 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 100,7 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Ответ

σcr = 100,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis