Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w0​ = 6 kN/mABRB​ = ?5 m

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 6 kN/m в A до нуля в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 5 mw0 = 6 kN/m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​3 m0,5 m0,5 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 5 mP = 55 kN в 3,5 mw = 12 kN/m от 3 до 4 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 55 kNP2​ = 80 kNABC1,5 m3,5 m2 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите изгибающий момент Mx под силой P1. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 7 mP1 = 55 kN в 1,5 mP2 = 80 kN в 7 mопоры при x = 0 и x = 5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 6 kN/mP = 65 kNAB3,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 6 mP = 65 kN в 3,5 mw = 6 kN/m от 0 до 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB55 kN6 m4 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB25 kN20 kN5 m2 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN ←
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 4 kN/mP = 16 kNABδ3 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 16 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 6 kN/mδL = 5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 4 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 80 kNL = 1 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 80 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 80 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1,667
RB = 5 kN
RA = 15 − 5 = 10 kN

Ответ

RB = 5 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 20,1 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 12 kN/mP = 55 kNABRA​RB​3 m0,5 m0,5 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, приложена в x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·3,5 + 12·1·3,5
RB = 234,5/5 = 46,9 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 46,9 = 20,1 kN

Ответ

RA = 20,1 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 9,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 80·7
RB = 642,5/5 = 128,5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 128,5 = 6,5 kN

Сечение под P1, оставляем левую часть

Mx = RA·1,5 = 6,5·1,5 = 9,75 kN·m

Ответ

Mx = 9,75 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 121 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 65·3,5 + 6·6·3
RB = 335,5/6 = 55,92 kN
ΣFy = 0: RA = 101 − 55,92 = 45,08 kN

Где V = 0?

V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 24,08 kN
V(3,5⁺) = 24,08 − 65 = −40,92 kN
Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

Mmax = RA·3,5 − w·3,5²/2 = 45,08·3,5 − 6·3,5²/2 = 121 kN·m

Ответ

Mmax = 121 kN·m

Он достигается при x = 3,5 m от A.

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −30,56 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·4 → Cy = 36,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 36,67 = 18,33 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,33/0,6 = −30,56 kN

Ответ

FAB = −30,56 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 3 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB25 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·2 − 20·2 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 2 = 23 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2/0,5547 = −3,606 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−3,606)·0,8321 = 3 kN

Ответ

FAC = 3 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 46,24 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 16000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(3EI) = 16000·3000³/(3·3,99 × 10¹²) = 36,09 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 10,15 mm

Сложите

δ = 36,09 + 10,15 = 46,24 mm

Ответ

δ = 46,24 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13,89) = 5,022 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 50,22 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 347,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Ответ

Pcr = 347,3 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 35,85 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 35,85 mm

Ответ

d = 35,85 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 111,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis