Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 30 kNP2​ = 30 kNABRA​ = ?RB​6 m3 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 10 mP1 = 30 kN в 6 mP2 = 30 kN в 9 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 30 kN, 30°Q = 30 kNABRA​ = ?1 m1,5 m3,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1 m от A действует сила P, наклонённая под углом 30° к горизонтали, а на расстоянии 2,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 6 mP = 30 kN в 1 m, θ = 30°Q = 30 kN в 2,5 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 8 kN/mABсечение0,5 m5,5 m

Найдите поперечную силу Vx в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 0,5 m
Vx = kN
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 5 kN/mP = 50 kNABсечение5 m5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 50 kN в 5 mw = 5 kN/m от 0 до 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH20 kN20 kN20 kN4 × 3 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH25 kN20 kN35 kN25 kN20 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓H: 25 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
7.Прогиб балкиСредняя
P = 21 kNABδ1,5 m1,5 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δP под силой.

P = 21 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 5 kN/mAB3 m

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию RB опоры B.

L = 3 mw = 5 kN/m
RB = kN
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 6 m25 × 100 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 2 md = 60 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 15 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 30 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​6 m3 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·6 + 30·9
RB = 450/10 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45 = 15 kN

Ответ

RA = 15 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 39,69 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 30·sin 30° = 15 kN
Ph = 30·cos 30° = 25,98 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 30·2,5 → RB = 15 kN
Ay = 15 + 30 − 15 = 30 kN
Ax = Ph = 25,98 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(25,98² + 30²) = 39,69 kN

Ответ

RA = 39,69 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Vx = 20 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24сечение0,5 m5,5 m

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = RA − (все нагрузки вниз левее сечения)
Vx = 24 − 8·0,5 = 20 kN

Ответ

Vx = 20 kN
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 187,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·5 + 5·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 5 kN/mP = 50 kNABRA​ = 50RB​ = 50сечение5 m5 m

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 50·5 − 5·5·2,5 = 187,5 kN·m

Ответ

Mx = 187,5 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,5 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 22,5 kN (C), AF: 37,5 kN (C), HE: 37,5 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 41,25 kN (T), BC: 41,25 kN (T), CD: 43,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 86,62 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 1,768 kN (T), HC: 1,768 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Прогиб балки

Ответ: δP = 4,018 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 21000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δP = Pa³/(3EI) = 21000·1500³/(3·5,88 × 10¹²) = 4,018 mm

Ответ

δP = 4,018 mm
8.Прогиб балки

Ответ: RB = 5,625 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δload = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры RB поднимает свободный конец на RBL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5,625 kN

Ответ

RB = 5,625 kN
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 7,139 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/6000² = 7139 N = 7,139 kN

Ответ

Pcr = 7,139 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 9,715 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266,7

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Ответ

σcr = 9,715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis