Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 60 kNP2​ = 55 kNABCRB​ = ?2,5 m0,5 m2 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 5 mP1 = 60 kN в 2,5 mP2 = 55 kN в 5 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 45 kN, 40°Q = 15 kNABRA​ = ?0,5 m1,5 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 0,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 5 mP = 45 kN в 2 m, θ = 40°Q = 15 kN в 0,5 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
15 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 6 m15 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mP = 30 kNABсечение4 m2 m4 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 6 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 30 kN в 4 mw = 4 kN/m от 0 до 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH25 kN35 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB25 kN20 kN4 m3 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →
FAB = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 5 kN/mABθ8 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θA сечения балки на опоре A в радианах.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогиб балкиСложная
w = 5 kN/mP = 27 kNδL = 4 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 27 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 3 m40 × 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 2 md = 25 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 141,7 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣMA = 0: RB·3 = 60·2,5 + 55·5
RB = 425/3 = 141,7 kN

Равновесие по вертикали

RA = 60 + 55 − 141,7 = −26,67 kN

Ответ

RB = 141,7 kN

RA отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 46,26 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 45·sin 40° = 28,93 kN
Ph = 45·cos 40° = 34,47 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·5 = 28,93·2 + 15·0,5 → RB = 13,07 kN
Ay = 28,93 + 15 − 13,07 = 30,86 kN
Ax = Ph = 34,47 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(34,47² + 30,86²) = 46,26 kN

Ответ

RA = 46,26 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 60 kN, R2 = 60 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 120, MC = 240, MD = 330 kN·m, ME = 240, MF = 120, MG = 0

Ответ

Отметка D: MD = 330 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 96 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 4·10·5
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 32 = 38 kN
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​ = 38RB​ = 32сечение4 m2 m4 m

Рассеките в x = 6 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 38·6 − 30·(6 − 4) − 4·6·3 = 96 kN·m

Ответ

Mx = 96 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 32,5 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 45,96 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 3,536 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = 17,19 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB25 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 + 20·4 → Cy = 38,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 38,75 = −13,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−13,75/0,8 = 17,19 kN

Ответ

FAB = 17,19 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: θA = 0,01481 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θA = wL³/(24EI) = 5·8000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,01481 rad

Ответ

θA = 0,01481 rad

Это 0,8488°.

8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 13,2 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 27000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 27000·4000³/(48·3,99 × 10¹²) = 9,023 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 4,177 mm

Сложите

δmax = 9,023 + 4,177 = 13,2 mm

Ответ

δmax = 13,2 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 58,49 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/3000² = 58487 N = 58,49 kN

Ответ

Pcr = 58,49 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 26,99 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Ответ

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis