Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABCRB​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 50 kN в 1,5 mP2 = 45 kN в 5 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w0​ = 20 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?2,5 m3,5 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 20 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 6 mw0 = 20 kN/mP = 75 kN в 2,5 m
MA = kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
4 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 3 kN/mP = 45 kNAB6 m2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 8 mP = 45 kN в 6 mw = 3 kN/m от 0 до 8 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB20 kN5 m4 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB15 kN30 kN8 m1 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 4 kN/mδL = 1,5 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 8 kN/mδL = 3 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 3 m30 × 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 140 kNL = 2 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 140 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 140 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣMA = 0: RB·4 = 50·1,5 + 45·5
RB = 300/4 = 75 kN

Равновесие по вертикали

RA = 50 + 45 − 75 = 20 kN

Ответ

RB = 75 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 427,5 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

MA = W·x̄ + P·a = 60·4 + 75·2,5 = 427,5 kN·m

Ответ

MA = 427,5 kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 35,33 kN, R2 = 23,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 33,33, MC = 62,67 kN·m, MD = 53, ME = 39,33, MF = 21,67, MG = 0

Ответ

Отметка C: MC = 62,67 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 85,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, приложена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·6 + 3·8·4
RB = 366/8 = 45,75 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 45,75 = 23,25 kN

Где V = 0?

V(6⁻) = RA − w·6 = 5,25 kN
V(6⁺) = 5,25 − 45 = −39,75 kN
Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 23,25·6 − 3·6²/2 = 85,5 kN·m

Ответ

Mmax = 85,5 kN·m

Он достигается при x = 6 m от A.

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −8,944 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0,4472 = −8,944 kN

Ответ

FAB = −8,944 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = −21,88 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·1 − 30·3 → Cy = −9,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −9,375 = 24,38 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−9,375/0,3939 = 23,8 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(23,8)·0,9191 = −21,88 kN

Ответ

FAC = −21,88 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 27,07 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·9,35 × 10¹⁰) = 27,07 mm

Ответ

δ = 27,07 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 92,05 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·3000⁴/(384·11000·8,333) = 9,205 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 92,05 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 92,05 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 13,82 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/3000² = 13817 N = 13,82 kN

Ответ

Pcr = 13,82 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 53,99 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 53,99 mm

Ответ

d = 53,99 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 103,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis