Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 2,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 25 kN в 1,5 mP₂ = 10 kN в 4 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 75 kN в 1,5 mw = 10 kN/m от 3 до 5 m

R_B = kN

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 15 kN в 3 mw = 6 kN/m от 0 до 3 m

M_A = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 25 kN в 2,5 mw = 6 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 6 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 22 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 4 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 25·1,5 + 10·4

R_B = 77,5/2,5 = 31 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 25 + 10 − 31 = 4 kN

Ответ

R_A = 4 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 55 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 75·1,5 + 20·4

R_B = 192,5/3,5 = 55 kN

R_A = 95 − 55 = 40 kN

Ответ

R_B = 55 kN

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −72 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −15·3 = −45 kN·m

w: −6·3²/2 = −27 kN·m

M_A = −45 − 27 = −72 kN·m

Ответ

M_A = −72 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 34,69 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2,5 + 6·4·2

R_B = 110,5/4 = 27,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 27,63 = 21,38 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 21,38·2,5 − 6·2,5·1,25 = 34,69 kN·m

Ответ

M_x = 34,69 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −25,77 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·5 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 25 = 5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,9701 = −25,77 kN

Ответ

F_BC = −25,77 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = 1,389 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·2 − 15·3 → C_y = −0,8333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −0,8333 = 20,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел C

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−0,8333/0,6 = 1,389 kN

Ответ

F_BC = 1,389 kN (растяжение)

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 16 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 6000·4000³/(3·3,2 × 10¹³) = 4 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 12 mm

Сложите

δ = 4 + 12 = 16 mm

Ответ

δ = 16 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 5,137 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 22000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5,137 mm

Ответ

δ_max = 5,137 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,909 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2000² = 6909 N = 6,909 kN

Ответ

P_cr = 6,909 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 7,896 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Ответ

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis