Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 20 kN в 3,5 mP₂ = 35 kN в 4,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2,5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 4,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 6 mP = 70 kN в 2,5 m, θ = 40°Q = 25 kN в 4,5 m

α = °

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 4 m15 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 40 kN в 3 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 75 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 75 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 85 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 85 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 37,92 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3,5 + 35·4,5

R_B = 227,5/6 = 37,92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 37,92 = 17,08 kN

Ответ

R_B = 37,92 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: α = 31,22 °

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 70·sin 40° = 45 kN

P_h = 70·cos 40° = 53,62 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2,5 + 25·4,5 → R_B = 37,5 kN

A_y = 45 + 25 − 37,5 = 32,5 kN

A_x = P_h = 53,62 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(32,5/53,62) = 31,22°

Ответ

α = 31,22°

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 32,08 kN, R₂ = 52,92 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 32,08, M_C = 64,17, M_D = 88,75, M_E = 98,33 kN·m, M_F = 52,92, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 98,33 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 24 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 2·4·2

R_B = 136/4 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 34 = 14 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 14·2 − 2·2·1 = 24 kN·m

Ответ

M_x = 24 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 3,75 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·2 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,507)·0,8321 = 3,75 kN

Ответ

F_AC = 3,75 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −57,3 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·2 − 20·4 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 3,75 = 51,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −51,25/0,8944 = −57,3 kN

Ответ

F_AB = −57,3 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 11,99 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 11,99 mm

Ответ

δ_max = 11,99 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 207,1 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·20) = 5,549 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·5,549 × 10⁷/75)^1/3 = 207,1 mm

Ответ

h_req = 207,1 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 12,21 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12,21 kN

Ответ

P_cr = 12,21 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 105,8 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 105,8 mm

Ответ

d = 105,8 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 189, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis