Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 12 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 2 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 50 kN в 2 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от A и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 3 mAD = 10 mP = 65 kN в 8 mQ = 55 kN в 1 m

R_D = kN

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 15 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM₀ = 15 kN·m по часовой стрелке, в точке 5 m

M_x = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 0 m15 kN @ 6 m15 kN @ 2 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓G: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 25 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 0,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 10 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 5 mw = 6 kN/m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 75 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 75 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 33 kN

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·1,333 + 50·2

R_B = 33 kN

R_A = 74 − 33 = 41 kN

Ответ

R_B = 33 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 46,43 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 65·5

R_D = 46,43 kN

V_C = 65 − 46,43 = 18,57 kN

Ответ

R_D = 46,43 kN

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −9,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/8 = 1,875 kN (вверх)

R_A = −R_B = −1,875 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −1,875·5 = −9,375 kN·m

Ответ

M_x = −9,375 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 67,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −15, M_D = −10, M_E = −10, M_F = −15, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −40 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 71,67 kN (T), BC: 71,67 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 89,58 kN (C), HE: 68,75 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 22,92 kN (T), HC: 43,75 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 11,25 kN (T), BC: 11,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 37,12 kN (T), HC: 1,768 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 3,833 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,4509 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001353 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,833 mm

Ответ

δ_B = 3,833 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 11,25 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11,25 kN

Ответ

R_B = 11,25 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 4,164 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/8000² = 4164 N = 4,164 kN

Ответ

P_cr = 4,164 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 46,66 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 46,66 mm

Ответ

d = 46,66 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 150, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis