Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w = 3 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?3,5 m1,5 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 5 mP = 20 kN в 3,5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 m
MA = kN·m
2.Опорные реакции балокСложная
w = 4 kN/mP = 30 kNQ = 10 kNADCMA​ = ?1 m2 m2 m3 m

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1 m от A. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

AC = 3 mAD = 8 mP = 30 kN в 5 mw = 4 kN/m от 3 до 8 mQ = 10 kN в 1 m
MA = kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 45 kNP2​ = 40 kNABC2 m3 m1 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите изгибающий момент Mx под силой P1. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP1 = 45 kN в 2 mP2 = 40 kN в 6 mопоры при x = 0 и x = 5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 5 kN/mP = 25 kNABсечение4 m0,5 m1,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 25 kN в 4 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH15 kN25 kN35 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 15 kN ↓D: 25 kN ↓G: 35 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB45 kN15 kN8 m5 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
P = 9 kNABδ0,5 m2,5 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 0,5 m от A. Найдите прогиб δB свободного конца B.

P = 9 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 4 kN/mδL = 2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 5 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 120 kNL = 2 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 120 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 120 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 107,5 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2,5 m

Момент относительно стены

MA = P·a + W·x̄ = 20·3,5 + 15·2,5 = 107,5 kN·m

Ответ

MA = 107,5 kN·m
2.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 94 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 4·5 = 20 kN в 2,5 m от C
ΣMC = 0: RD·5 = 30·2 + 20·2,5
RD = 22 kN
VC = 50 − 22 = 28 kN

Часть AC

Сила в шарнире VC действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

RA = 10 + 28 = 38 kN
MA = 10·1 + 28·3 = 94 kN·m

Ответ

MA = 94 kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 38 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣMA = 0: RB·5 = 45·2 + 40·6
RB = 330/5 = 66 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 66 = 19 kN

Сечение под P1, оставляем левую часть

Mx = RA·2 = 19·2 = 38 kN·m

Ответ

Mx = 38 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 41,88 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·4 + 5·6·3
RB = 190/6 = 31,67 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 31,67 = 23,33 kN
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​ = 23,33RB​ = 31,67сечение4 m0,5 m1,5 m

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 23,33·4,5 − 25·(4,5 − 4) − 5·4,5·2,25 = 41,88 kN·m

Ответ

Mx = 41,88 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 31,25 kN (T), BC: 31,25 kN (T), CD: 43,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 44,19 kN (T), HC: 26,52 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 36,56 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB45 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 − 15·2 → Cy = 24,38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 24,38 = 20,63 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −24,38/0,5547 = −43,94 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43,94)·0,8321 = 36,56 kN

Ответ

FAC = 36,56 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δB = 3,795 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 9000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δP = Pa³/(3EI) = 0,4464 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001339 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,795 mm

Ответ

δB = 3,795 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 13,64 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2000⁴/(384·11000·5,556) = 1,364 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 13,64 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 13,64 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 6,056 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN

Ответ

Pcr = 6,056 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 61,03 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·120000 = 240000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 61,03 mm

Ответ

d = 61,03 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 91,76, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis