Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 3 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 8 mP = 60 kN в 2 mM = 30 kN·m (по часовой стрелке) в 3 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 8 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 6 m до свободного конца в точке 10 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 8 mAC = 10 mP = 70 kN в 7 mw = 10 kN/m от 6 до 10 m

R_B = kN

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 2 m12 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 55 kN в 3,5 mw = 6 kN/m от 0 до 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 6 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 110 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 110 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 18,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 60·2 − 30 = 0

R_B = 150/8 = 18,75 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 60 − 18,75 = 41,25 kN

Ответ

R_B = 18,75 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 101,3 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 10·4 = 40 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·7 + 40·8

R_B = 810/8 = 101,3 kN

R_A = 110 − 101,3 = 8,75 kN

Ответ

R_B = 101,3 kN

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 52 kN, R₂ = 32 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 52, M_C = 104 kN·m, M_D = 90, M_E = 64, M_F = 32, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 104 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 26 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3,5 + 6·5·2,5

R_B = 267,5/5 = 53,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53,5 = 31,5 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 31,5·4,5 − 55·(4,5 − 3,5) − 6·4,5·2,25 = 26 kN·m

Ответ

M_x = 26 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −8,975 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,3714 = −8,975 kN

Ответ

F_BC = −8,975 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −8,385 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·6 − 15·4 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 7,5 = 12,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел C

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,8944 = −8,385 kN

Ответ

F_BC = −8,385 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 48,21 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 48,21 mm

Ответ

δ = 48,21 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 200,7 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·6,742 × 10⁷/100)^1/3 = 200,7 mm

Ответ

h_req = 200,7 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 19,62 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Ответ

P_cr = 19,62 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 45,89 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 45,89 mm

Ответ

d = 45,89 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 109, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis