Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​2,5 m0,5 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 5 mP1 = 50 kN в 2,5 mP2 = 50 kN в 3 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 45 kN, 40°Q = 45 kNABRA​ = ?4 m3 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 4 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 7 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 10 mP = 45 kN в 4 m, θ = 40°Q = 45 kN в 7 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
M0​ = 10 kN·mAB3 m5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 10 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 3 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM0 = 10 kN·m по часовой стрелке, в точке 3 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mP = 55 kNABсечение0,5 m1 m2,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 55 kN в 1,5 mw = 4 kN/m от 0 до 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB60 kN8 m7 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB20 kN30 kN6 m2 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
P = 20 kNABδ2,5 m2,5 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2,5 m от A. Найдите прогиб δB свободного конца B.

P = 20 kNa = 2,5 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 6 kN/mδL = 2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 4 md = 60 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 110 kNL = 6 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 110 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 110 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 45 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2,5 m0,5 m2 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·2,5 + 50·3
RB = 275/5 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 55 = 45 kN

Ответ

RA = 45 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 46,26 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 45·sin 40° = 28,93 kN
Ph = 45·cos 40° = 34,47 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·10 = 28,93·4 + 45·7 → RB = 43,07 kN
Ay = 28,93 + 45 − 43,07 = 30,86 kN
Ax = Ph = 34,47 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(34,47² + 30,86²) = 46,26 kN

Ответ

RA = 46,26 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 6,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/8 = 1,25 kN (вверх)
RA = −RB = −1,25 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит RA и сосредоточенный момент.

Mx = RA·a + M0 = −1,25·3 + 10 = 6,25 kN·m

Ответ

Mx = 6,25 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 20,69 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1,5 + 4·4·2
RB = 114,5/4 = 28,63 kN
ΣFy = 0: RA = 71 − 28,63 = 42,38 kN
w = 4 kN/mP = 55 kNABRA​ = 42,38RB​ = 28,63сечение0,5 m1 m2,5 m

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 42,38·0,5 − 4·0,5·0,25 = 20,69 kN·m

Ответ

Mx = 20,69 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −58,7 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 60·7 → Cy = 52,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 52,5 = 7,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −52,5/0,8944 = −58,7 kN

Ответ

FBC = −58,7 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 28,89 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB20 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·2 + 30·3 → Cy = 21,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 21,67 = −1,667 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21,67/0,6 = −36,11 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−36,11)·0,8 = 28,89 kN

Ответ

FAC = 28,89 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δB = 8,138 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δP = Pa³/(3EI) = 3,255 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001953 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,138 mm

Ответ

δB = 8,138 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 3,214 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2000⁴/(384·70000·5,556) = 3,214 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3,214 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 3,214 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 78,48 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN

Ответ

Pcr = 78,48 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 100,5 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 100,5 mm

Ответ

d = 100,5 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 238,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis