Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w = 5 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?2 m1,5 m0,5 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w от стены до 2 m и сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от стены. Найдите вертикальную реакцию RA в заделке.

L = 4 mP = 50 kN в 3,5 mw = 5 kN/m от 0 до 2 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 15 kN, 40°Q = 80 kNABRA​ = ?1 m6 m3 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 7 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 1 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 10 mP = 15 kN в 7 m, θ = 40°Q = 80 kN в 1 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
35 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 4 m10 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 6 kN/mABC8 m2,5 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mmax между опорами.

L = 10,5 mw = 6 kN/m от 0 до 10,5 mопоры при x = 0 и x = 8 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB35 kN6 m4 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH35 kN40 kN15 kN10 kN35 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 35 kN ↓F: 40 kN ↓F: 15 kN →G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Прогиб балкиСредняя
w = 20 kN/mP = 11 kNABδ2 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 11 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 5 kN/mP = 11 kNδL = 2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 11 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 1,5 m30 × 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 60 kNL = 4 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 60 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 60 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 60 kN

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 5·2 = 10 kN, x̄ = 1 m

Равновесие по вертикали

RA = P + W = 50 + 10 = 60 kN

Ответ

RA = 60 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 75,77 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 15·sin 40° = 9,642 kN
Ph = 15·cos 40° = 11,49 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·10 = 9,642·7 + 80·1 → RB = 14,75 kN
Ay = 9,642 + 80 − 14,75 = 74,89 kN
Ax = Ph = 11,49 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(11,49² + 74,89²) = 75,77 kN

Ответ

RA = 75,77 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 31,67 kN, R2 = 13,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 63,33, MC = 106,7 kN·m, MD = 80, ME = 53,33, MF = 26,67, MG = 0

Ответ

Отметка C: MC = 106,7 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 39,08 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10,5 = 63 kN, приложена в x̄ = 5,25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·10,5·5,25
RB = 330,8/8 = 41,34 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 41,34 = 21,66 kN

Нулевая поперечная сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 21,66/6 = 3,609 m

Наибольший положительный момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 21,66²/(2·6) = 39,08 kN·m

Ответ

Mmax = 39,08 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 15,56 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·4 → Cy = 23,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 23,33 = 11,67 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −23,33/0,8321 = −28,04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−28,04)·0,5547 = 15,56 kN

Ответ

FAC = 15,56 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 63,75 kN (T), BC: 72,5 kN (T), CD: 72,5 kN (T), DE: 71,25 kN (T), FG: 63,75 kN (C), GH: 71,25 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 100,8 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 36,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 1,768 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Прогиб балки

Ответ: δ = 9,63 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 11000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(3EI) = 11000·2000³/(3·7,2 × 10¹²) = 4,074 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 5,556 mm

Сложите

δ = 4,074 + 5,556 = 9,63 mm

Ответ

δ = 9,63 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 15,46 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 11000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 11000·2500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 9,042 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 6,422 mm

Сложите

δmax = 9,042 + 6,422 = 15,46 mm

Ответ

δmax = 15,46 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 27,63 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1500² = 27635 N = 27,63 kN

Ответ

Pcr = 27,63 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 94,36 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 94,36 mm

Ответ

d = 94,36 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 339,1, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis