Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 30 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m7 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 10 mP1 = 30 kN в 2 mP2 = 45 kN в 9 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m8 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 10 mP = 15 kN в 1 mw = 8 kN/m от 1 до 2 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 8 kN/mP = 40 kNABсечение2 m3 m

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 2 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 40 kN в 5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 6 kN/mP = 10 kNABсечение1,5 m2,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 10 kN в 1,5 mw = 6 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB30 kN4 m3 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB50 kN25 kN4 m3 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →
FBC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 10 kN/mδL = 3 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δmax в середине пролёта.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 4 kN/mABδ5 m

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту hreq сечения.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm
hreq = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 5 md = 60 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 105 kNL = 3 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 105 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 46,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 30 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2 m7 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·2 + 45·9
RB = 465/10 = 46,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,5 = 28,5 kN

Ответ

RB = 46,5 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 20,3 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​RB​1 m1 m8 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, приложена в x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 15·1 + 8·1·1,5
RB = 27/10 = 2,7 kN
ΣFy = 0: RA = 23 − 2,7 = 20,3 kN

Ответ

RA = 20,3 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = −156 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −40·3 = −120 kN·m
w: −8·3²/2 = −36 kN·m
Mx = −120 − 36 = −156 kN·m

Ответ

Mx = −156 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 20,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1,5 + 6·4·2
RB = 63/4 = 15,75 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 15,75 = 18,25 kN
w = 6 kN/mP = 10 kNABRA​ = 18,25RB​ = 15,75сечение1,5 m2,5 m

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 18,25·1,5 − 6·1,5·0,75 = 20,63 kN·m

Ответ

Mx = 20,63 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −23,19 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22,5/0,9701 = −23,19 kN

Ответ

FBC = −23,19 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FBC = −59,29 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB50 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 + 25·3 → Cy = 56,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 56,25 = −6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −56,25/0,9487 = −59,29 kN

Ответ

FBC = −59,29 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δmax = 2,643 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 2,643 mm

Ответ

δmax = 2,643 mm
8.Прогиб балки

Ответ: hreq = 257,4 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δallow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,776 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,776 × 10⁸/125)1/3 = 257,4 mm

Ответ

hreq = 257,4 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 200,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2500² = 200921 N = 200,9 kN

Ответ

Pcr = 200,9 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 66,46 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,46 mm

Ответ

d = 66,46 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 180,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis