Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​2,5 m2 m1,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 6 mP1 = 10 kN в 2,5 mP2 = 50 kN в 4,5 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w0​ = 4 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?8 m2 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 4 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 75 kN в 8 m
MA = kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
45 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 2 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
5 kN/m45 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 0 m30 kN @ 12 m5 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH10 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 10 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB15 kN30 kN6 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →
FAB = kN
7.Прогиб балкиСредняя
w = 6 kN/mδL = 5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δmax в середине пролёта.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 5 kN/mAB8 m

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию RB опоры B.

L = 8 mw = 5 kN/m
RB = kN
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 1 m20 × 60 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 130 kNL = 3 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 130 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 130 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 18,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2,5 m2 m1,5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 10·2,5 + 50·4,5
RB = 250/6 = 41,67 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 41,67 = 18,33 kN

Ответ

RA = 18,33 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 733,3 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Момент относительно стены

MA = W·x̄ + P·a = 20·6,667 + 75·8 = 733,3 kN·m

Ответ

MA = 733,3 kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 74,17 kN, R2 = 25,83 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 148,3, MC = 206,7 kN·m, MD = 155, ME = 103,3, MF = 51,67, MG = 0

Ответ

Отметка C: MC = 206,7 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 55 kN, R2 = 50 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = −90, MC = −80, MD = −90, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

Ответ

Отметка E: ME = −120 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 2,5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 5 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 2,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 3,536 kN (C), HE: 10,61 kN (C), BF: 2,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 3,536 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −2,795 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 + 30·2 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12,5 = 2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2,5/0,8944 = −2,795 kN

Ответ

FAB = −2,795 kN (сжатие)
7.Прогиб балки

Ответ: δmax = 2,906 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 2,906 mm

Ответ

δmax = 2,906 mm
8.Прогиб балки

Ответ: RB = 15 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δload = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры RB поднимает свободный конец на RBL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Ответ

RB = 15 kN
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 19,74 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/2000² = 19739 N = 19,74 kN

Ответ

Pcr = 19,74 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 49,57 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 49,57 mm

Ответ

d = 49,57 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 121, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis