Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABRA​ = ?RB​2 m0,5 m3,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 6 mP1 = 45 kN в 2 mP2 = 15 kN в 2,5 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 5 kN/mP = 25 kNQ = 40 kNADCRD​ = ?3 m3 m1 m3 m

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 6 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 3 m от A. Найдите реакцию RD подвижной опоры.

AC = 6 mAD = 10 mP = 25 kN в 7 mw = 5 kN/m от 6 до 10 mQ = 40 kN в 3 m
RD = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 4 kN/mABсечение0,5 m3,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 4 kN/m от 0 до 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 12 kN/mAB1 m3 m1 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 5 mw = 12 kN/m от 1 до 4 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB20 kN8 m5 m4 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH20 kN10 kN35 kN15 kN10 kN4 × 4 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 20 kN ↓F: 10 kN ↓F: 35 kN →G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Прогиб балкиСредняя
P = 6 kNABδ4 m1 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 4 m от A. Найдите прогиб δB свободного конца B.

P = 6 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 10 kN/mP = 7 kNδL = 2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 7 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 2 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 95 kNL = 2,5 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 95 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 95 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 38,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​2 m0,5 m3,5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·2 + 15·2,5
RB = 127,5/6 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 21,25 = 38,75 kN

Ответ

RA = 38,75 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RD = 16,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 5·4 = 20 kN в 2 m от C
ΣMC = 0: RD·4 = 25·1 + 20·2
RD = 16,25 kN
VC = 45 − 16,25 = 28,75 kN

Ответ

RD = 16,25 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 3,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8сечение0,5 m3,5 m

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 8·0,5 − 4·0,5·0,25 = 3,5 kN·m

Ответ

Mx = 3,5 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 31,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·3·2,5
RB = 90/5 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с RA, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 18/12 = 2,5 m

Наибольший момент

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 18·2,5 − 12·1,5²/2 = 31,5 kN·m

Ответ

Mmax = 31,5 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −12,01 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·5 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 12,5 = 7,5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7,5/0,6247 = −12,01 kN

Ответ

FAB = −12,01 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 69,58 kN (T), BC: 64,17 kN (T), CD: 64,17 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 69,58 kN (C), GH: 38,75 kN (C), AF: 43,23 kN (C), HE: 48,44 kN (C), BF: 15,94 kN (T), CG: 0, DH: 19,06 kN (T), BG: 6,771 kN (T), DG: 31,77 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Прогиб балки

Ответ: δB = 69,84 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, a = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δP = Pa³/(3EI) = 50,79 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01905 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 69,84 mm

Ответ

δB = 69,84 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 2,462 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 7000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 7000·2000³/(48·1,32 × 10¹²) = 0,8838 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,578 mm

Сложите

δmax = 0,8838 + 1,578 = 2,462 mm

Ответ

δmax = 2,462 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 992,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Ответ

Pcr = 992,2 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 83,68 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,68 mm

Ответ

d = 83,68 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 239, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis