Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 10 kNP2​ = 50 kNABCRA​ = ?0,5 m3 m1,5 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию RA, считая положительным направление вверх.

AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 10 kN в 0,5 mP2 = 50 kN в 5 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 3 kN/mP = 20 kNABCRB​ = ?2 m4 m4 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 6 m до свободного конца в точке 10 m. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

AB = 6 mAC = 10 mP = 20 kN в 2 mw = 3 kN/m от 6 до 10 m
RB = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
M0​ = 45 kN·mAB2 m2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M0 = 45 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент Mx сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM0 = 45 kN·m по часовой стрелке, в точке 2 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 12 kN/mP = 30 kNABсечение4 m6 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 30 kN в 4 mw = 12 kN/m от 0 до 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH20 kN20 kN15 kN35 kN40 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH10 kN15 kN35 kN15 kN4 × 4 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
7.Прогиб балкиСредняя
P = 26 kNABδ1 m5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от опоры A. Найдите прогиб δP под силой.

P = 26 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогиб балкиСложная
P = 10 kNAB1,5 m1,5 m

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента MA в заделке.

L = 3 mP = 10 kN в 1,5 m
MA = kN·m
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 1,5 m30 × 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 95 kNL = 2 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 95 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 95 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = −12,86 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 10·0,5 + 50·5
RB = 255/3,5 = 72,86 kN

Равновесие по вертикали

RA = 10 + 50 − 72,86 = −12,86 kN

Ответ

RA = −12,86 kN

RA отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

2.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 22,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 20·2 + 12·8
RB = 136/6 = 22,67 kN
RA = 32 − 22,67 = 9,333 kN

Ответ

RB = 22,67 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 22,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: RB·L − M0 = 0. Равновесие по вертикали: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/4 = 11,25 kN (вверх)
RA = −RB = −11,25 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит RA и сосредоточенный момент.

Mx = RA·a + M0 = −11,25·2 + 45 = 22,5 kN·m

Ответ

Mx = 22,5 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 216 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 12·10·5
RB = 720/10 = 72 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 72 = 78 kN
w = 12 kN/mP = 30 kNABRA​ = 78RB​ = 72сечение4 m6 m

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 78·4 − 12·4·2 = 216 kN·m

Ответ

Mx = 216 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 58,75 kN (T), BC: 82,5 kN (T), CD: 82,5 kN (T), DE: 71,25 kN (T), FG: 58,75 kN (C), GH: 71,25 kN (C), AF: 83,09 kN (C), HE: 100,8 kN (C), BF: 43,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 33,59 kN (C), DG: 15,91 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 32,08 kN (T), BC: 32,08 kN (T), CD: 32,92 kN (T), DE: 32,92 kN (T), FG: 80,83 kN (C), GH: 80,83 kN (C), AF: 58,85 kN (C), HE: 41,15 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 42,19 kN (T), HC: 41,15 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH
7.Прогиб балки

Ответ: δP = 15,05 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 26000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δP = Pa²b²/(3EIL) = 26000·1000²·5000²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 15,05 mm

Ответ

δP = 15,05 mm
8.Прогиб балки

Ответ: MA = 5,625 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры RB поднимает свободный конец на RBL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

MA = P·L/2 − RB·L = 15 − 9,375 = 5,625 kN·m

Ответ

MA = 5,625 kN·m
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 8,636 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8,636 kN

Ответ

Pcr = 8,636 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 79,14 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,14 mm

Ответ

d = 79,14 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 202,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis