Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 330 g газа (He) при 350 kPa и 95 °C? Считайте газ идеальным.

m = 330 gM = 4,003 g/molP = 350 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (N₂) при 150 kPa и 160 °C, считая его идеальным.

M = 28,01 g/molP = 150 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (этанол) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 60 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (этанол) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 15% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Ct: 15 → 90 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 775 °C и холодным при 20 °C. Она получает 2500 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 775 °CT_L = 20 °CQ_H = 2500 kJ

W_max = kJ

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 1100 kJ теплоты от резервуара при 300 °C, совершает 264 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 20 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 300 °CT_L = 20 °CQ_H = 1100 kJW = 264 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 19 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2,2. В начале сжатия температура воздуха 295 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 19r_c = 2,2T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 6. Воздух поступает в компрессор при 300 K, а в турбину — при 1300 K. Изоэнтропный КПД компрессора 85%, турбины 92%. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 300 KT₃ = 1300 Kη_c = 85%η_t = 92%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 720,9 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 330/4,003 = 82,44 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Объём

V = nRT/P = 82,44·8,314·368,1/350 = 720,9 L

Ответ

V = 720,9 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 1,167 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Плотность

ρ = 150·28,01/(8,314·433,1) = 1,167 kg/m³

Ответ

ρ = 1,167 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 66,7 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 1·2,44·(140 − 60) = 195,2 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 195,2/(1·4,18) = 66,7 °C

Ответ

t_out = 66,7 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 1,191 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 3·2,44·(150 − 90) = 439,2 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,15)·439,2 = 373,3 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 373,3/(4,18·75) = 1,191 kg/s

Ответ

ṁ_c = 1,191 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1801 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 775 + 273,15 = 1048 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/1048 = 72,03 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,7203·2500 = 1801 kJ

Ответ

W_max = 1801 kJ

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 0,9326 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 1100 − 264 = 836 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −1100/573,1 = −1,919 kJ/K

ΔS_L = 836/293,1 = 2,852 kJ/K

S_gen = 2,852 − 1,919 = 0,9326 kJ/K

Ответ

S_gen = 0,9326 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 2107 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 295·19^0,4 = 957,9 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 2,2·957,9 = 2107 K

Ответ

T₃ = 2107 K

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 244,5 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T_2s = 300·6^0,2857 = 500,6 K

T_4s = 1300/6^0,2857 = 779,1 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(500,6 − 300)/0,85 = 237,1 kJ/kg

w_t = 0,92·1,005·(1300 − 779,1) = 481,6 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 481,6 − 237,1 = 244,5 kJ/kg

Ответ

w_net = 244,5 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 49,24%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1