Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 10 L содержит 210 g газа (N₂) при 15 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 210 gM = 28,01 g/molV = 10 LT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (CO₂) при 900 kPa и 50 °C, считая его идеальным.

M = 44,01 g/molP = 900 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (этанол) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (этанол) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 15% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 70 °Ct: 15 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 800 kJ теплоты от резервуара при 250 °C и отдаёт 494 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 250 °CQ_H = 800 kJQ_L = 494 kJ

T_L = °C

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 4300 kJ теплоты от резервуара при 350 °C, совершает 1806 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 25 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 350 °CT_L = 25 °CQ_H = 4300 kJW = 1806 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 14 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 1,5. В начале сжатия температура воздуха 295 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 14r_c = 1,5T₁ = 295 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 6. Воздух поступает в компрессор при 310 K, а в турбину — при 1100 K. Изоэнтропный КПД компрессора 80%, турбины 90%. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 6T₁ = 310 KT₃ = 1100 Kη_c = 80%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 1796 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 210/28,01 = 7,497 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Давление

P = nRT/V = 7,497·8,314·288,1/0,01 = 1796 kPa

Ответ

P = 1796 kPa

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 14,74 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Плотность

ρ = 900·44,01/(8,314·323,1) = 14,74 kg/m³

Ответ

ρ = 14,74 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 27,92 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 0,5·2,44·(130 − 100) = 36,6 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 36,6/(3·4,18) = 27,92 °C

Ответ

t_out = 27,92 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 2,977 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 3·2,44·(150 − 70) = 585,6 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,15)·585,6 = 497,8 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 497,8/(4,18·40) = 2,977 kg/s

Ответ

ṁ_c = 2,977 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 49,9 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 523,1·494/800 = 323 K = 49,9 °C

Ответ

T_L = 49,9 °C

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 1,464 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 4300 − 1806 = 2494 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −4300/623,1 = −6,9 kJ/K

ΔS_L = 2494/298,1 = 8,365 kJ/K

S_gen = 8,365 − 6,9 = 1,464 kJ/K

Ответ

S_gen = 1,464 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 1272 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 295·14^0,4 = 847,8 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·847,8 = 1272 K

Ответ

T₃ = 1272 K

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 138,3 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T_2s = 310·6^0,2857 = 517,2 K

T_4s = 1100/6^0,2857 = 659,3 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(517,2 − 310)/0,8 = 260,3 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1100 − 659,3) = 398,6 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 398,6 − 260,3 = 138,3 kJ/kg

Ответ

w_net = 138,3 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 65,31%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1