Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 10 L содержит 270 g газа (CO₂) при 85 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 270 gM = 44,01 g/molV = 10 LT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (He) переходит от 300 kPa, 10 L, 30 °C к 700 kPa и 200 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 10% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 90 °Ct: 25 → 90 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 550 °C и холодным при 35 °C. Она получает 3900 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 550 °CT_L = 35 °CQ_H = 3900 kJ

W_max = kJ

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос подаёт 15 kW теплоты в систему отопления при 45 °C, забирая теплоту от источника при -10 °C. Его действительный COP составляет 35% от COP Карно между этими температурами. Найдите потребляемую им электрическую мощность Ẇ.

T_H = 45 °CT_L = -10 °Cη_II = 35%Q̇_H = 15 kW

Ẇ = kW

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 22 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2,5. В начале сжатия температура воздуха 320 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите подведённую теплоту q_in на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 22r_c = 2,5T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 10. Воздух поступает в компрессор при 310 K, а в турбину — при 1500 K. Обе машины изоэнтропные. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 310 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 1827 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 270/44,01 = 6,135 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Давление

P = nRT/V = 6,135·8,314·358,1/0,01 = 1827 kPa

Ответ

P = 1827 kPa

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 6,689 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 303,1 K, T₂ = 473,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/700)·(473,1/303,1) = 6,689 L

Ответ

V₂ = 6,689 L

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 40,84 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 1·3,6·(170 − 140) = 108 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 108/(1·4,18) = 40,84 °C

Ответ

t_out = 40,84 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 0,313 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 0,5·2,1·(180 − 90) = 94,5 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,1)·94,5 = 85,05 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 85,05/(4,18·65) = 0,313 kg/s

Ответ

ṁ_c = 0,313 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 2440 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/823,1 = 62,56 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,6256·3900 = 2440 kJ

Ответ

W_max = 2440 kJ

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ = 7,409 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 45 + 273,15 = 318,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

COP Карно и действительный COP

COP_max = 318,1/(318,1 − 263,1) = 5,785

COP = 0,35·5,785 = 2,025

Потребляемая мощность

Ẇ = Q̇_H/COP = 15/2,025 = 7,409 kW

Ответ

Ẇ = 7,409 kW

7.Газовые циклы

Ответ: q_in = 1661 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температуры

T₂ = 320·22^0,4 = 1102 K

T₃ = 2,5·1102 = 2755 K

Подведённая теплота при постоянном давлении

q_in = 1,005·(2755 − 1102) = 1661 kJ/kg

Ответ

q_in = 1661 kJ/kg

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 436,7 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T₂ = 310·10^0,2857 = 598,5 K

T₄ = 1500/10^0,2857 = 776,9 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(598,5 − 310) = 290 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 776,9) = 726,7 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 726,7 − 290 = 436,7 kJ/kg

Ответ

w_net = 436,7 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 39,9%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1