Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 260 g газа (CO₂) при 250 kPa и 100 °C? Считайте газ идеальным.

m = 260 gM = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (O₂) переходит от 200 kPa, 2 L, 40 °C к 400 kPa и 210 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 40 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (этанол) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 90 °Cṁ_c = 1,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (этанол) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 10% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 70 °Ct: 10 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 3600 kJ теплоты от резервуара при 525 °C и отдаёт 1345 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 525 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1345 kJ

T_L = °C

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 3100 kJ теплоты от резервуара при 400 °C, совершает 1023 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 35 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 400 °CT_L = 35 °CQ_H = 3100 kJW = 1023 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 15 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2. В начале сжатия температура воздуха 300 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите температуру T₃ в конце подвода теплоты, в K.

r = 15r_c = 2T₁ = 300 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 20. Воздух поступает в компрессор при 295 K, а в турбину — при 1200 K. Обе машины изоэнтропные. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 295 KT₃ = 1200 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 73,31 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 260/44,01 = 5,908 mol

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Объём

V = nRT/P = 5,908·8,314·373,1/250 = 73,31 L

Ответ

V = 73,31 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 1,543 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 313,1 K, T₂ = 483,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/400)·(483,1/313,1) = 1,543 L

Ответ

V₂ = 1,543 L

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 68,37 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 3·2,44·(140 − 90) = 366 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 366/(1,5·4,18) = 68,37 °C

Ответ

t_out = 68,37 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 0,7274 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 1,5·2,44·(130 − 70) = 219,6 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,1)·219,6 = 197,6 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 197,6/(4,18·65) = 0,7274 kg/s

Ответ

ṁ_c = 0,7274 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 25,05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 798,1·1345/3600 = 298,2 K = 25,05 °C

Ответ

T_L = 25,05 °C

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 2,135 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 3100 − 1023 = 2077 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −3100/673,1 = −4,605 kJ/K

ΔS_L = 2077/308,1 = 6,74 kJ/K

S_gen = 6,74 − 4,605 = 2,135 kJ/K

Ответ

S_gen = 2,135 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

7.Газовые циклы

Ответ: T₃ = 1773 K

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Конец сжатия

T₂ = 300·15^0,4 = 886,3 K

Подвод теплоты при постоянном давлении

T₃ = r_c·T₂ = 2·886,3 = 1773 K

Ответ

T₃ = 1773 K

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 292,3 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T₂ = 295·20^0,2857 = 694,3 K

T₄ = 1200/20^0,2857 = 509,9 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(694,3 − 295) = 401,3 kJ/kg

w_t = 1,005·(1200 − 509,9) = 693,6 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 693,6 − 401,3 = 292,3 kJ/kg

Ответ

w_net = 292,3 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 57,86%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1