Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 50 L содержит 280 g газа (Ar) при 70 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 280 gM = 39,95 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (He) при 450 kPa и 150 °C, считая его идеальным.

M = 4,003 g/molP = 450 kPaT = 150 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 100 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 5% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Ct: 20 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 600 °C и холодным при 30 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 600 °CT_L = 30 °C

η_max = %

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 3700 kJ теплоты от резервуара при 800 °C, совершает 1332 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 20 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 800 °CT_L = 20 °CQ_H = 3700 kJW = 1332 kJ

S_gen = kJ/K

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 18 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 1,8. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

r = 18r_c = 1,8k = 1,4

η = %

8.Газовые циклыСложная

Идеальный цикл Брайтона работает со степенью повышения давления в компрессоре 6. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

r_p = 6k = 1,4

η = %

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 399,9 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 280/39,95 = 7,009 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Давление

P = nRT/V = 7,009·8,314·343,1/0,05 = 399,9 kPa

Ответ

P = 399,9 kPa

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 0,512 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273,15 = 423,1 K

Плотность

ρ = 450·4,003/(8,314·423,1) = 0,512 kg/m³

Ответ

ρ = 0,512 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 30,07 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 2·2,1·(130 − 100) = 126 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 126/(2·4,18) = 30,07 °C

Ответ

t_out = 30,07 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 0,8182 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 0,5·3,6·(140 − 100) = 72 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,05)·72 = 68,4 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 68,4/(4,18·20) = 0,8182 kg/s

Ответ

ṁ_c = 0,8182 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 65,28 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/873,1 = 65,28 %

Ответ

η_max = 65,28 %

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 4,63 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 3700 − 1332 = 2368 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −3700/1073 = −3,448 kJ/K

ΔS_L = 2368/293,1 = 8,078 kJ/K

S_gen = 8,078 − 3,448 = 4,63 kJ/K

Ответ

S_gen = 4,63 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

7.Газовые циклы

Ответ: η = 64,12 %

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Множитель предварительного расширения

(1,8^1,4 − 1)/(1,4·(1,8 − 1)) = 1,14

Термический КПД

η = 1 − 0,3147·1,14 = 64,12%

Ответ

η = 64,12%

8.Газовые циклы

Ответ: η = 40,07 %

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Термический КПД

η = 1 − 1/6^0,2857 = 1 − 1/1,669 = 40,07%

Ответ

η = 40,07%

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1