Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 20 g газа (Ar) при 350 kPa и 10 °C? Считайте газ идеальным.

m = 20 gM = 39,95 g/molP = 350 kPaT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CO₂) переходит от 350 kPa, 5 L, 40 °C к 200 kPa и 250 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 5% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 90 °Ct: 25 → 75 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимый холодильник поддерживает в холодильной камере -5 °C, отводя 9 kW теплоты, и отдаёт теплоту окружающей среде при 35 °C. Найдите тепловой поток Q̇_H, который он отдаёт.

T_L = -5 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере 5 °C на кухне при 25 °C, отводя из камеры теплоту 5 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 25 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 17 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2,2. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

r = 17r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 8. Воздух поступает в компрессор при 295 K, а в турбину — при 1500 K. Обе машины изоэнтропные. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 295 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 3,367 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 20/39,95 = 0,5006 mol

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Объём

V = nRT/P = 0,5006·8,314·283,1/350 = 3,367 L

Ответ

V = 3,367 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 14,62 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 313,1 K, T₂ = 523,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/200)·(523,1/313,1) = 14,62 L

Ответ

V₂ = 14,62 L

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 63,06 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 3·3,6·(150 − 100) = 540 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 540/(3·4,18) = 63,06 °C

Ответ

t_out = 63,06 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 2,618 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 2·3,6·(170 − 90) = 576 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,05)·576 = 547,2 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 547,2/(4,18·50) = 2,618 kg/s

Ответ

ṁ_c = 2,618 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_H = 10,34 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·308,1/268,1 = 10,34 kW

Ответ

Q̇_H = 10,34 kW

Потребляемая мощность: Ẇ = 1,343 kW.

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,3595 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278,1/(298,1 − 278,1) = 13,91

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/13,91 = 0,3595 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,3595 kW

7.Газовые циклы

Ответ: η = 61,37 %

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Множитель предварительного расширения

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Термический КПД

η = 1 − 0,322·1,2 = 61,37%

Ответ

η = 61,37%

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 434,7 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T₂ = 295·8^0,2857 = 534,4 K

T₄ = 1500/8^0,2857 = 828,1 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(534,4 − 295) = 240,6 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 828,1) = 675,3 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 675,3 − 240,6 = 434,7 kJ/kg

Ответ

w_net = 434,7 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 35,63%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1