Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 150 g газа (N₂) при 650 kPa и 15 °C? Считайте газ идеальным.

m = 150 gM = 28,01 g/molP = 650 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (Ar) при 500 kPa и 20 °C, считая его идеальным.

M = 39,95 g/molP = 500 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 110 °Cṁ_c = 2 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 15% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 80 °Ct: 10 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 4000 kJ теплоты от резервуара при 500 °C и отдаёт 1568 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 500 °CQ_H = 4000 kJQ_L = 1568 kJ

T_L = °C

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере 4 °C на кухне при 35 °C, отводя из камеры теплоту 0,5 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 0,5 kW

Ẇ_min = kW

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 19 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 1,8. В начале сжатия температура воздуха 290 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите подведённую теплоту q_in на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 19r_c = 1,8T₁ = 290 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 20. Воздух поступает в компрессор при 310 K, а в турбину — при 1400 K. Обе машины изоэнтропные. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 310 KT₃ = 1400 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 19,74 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 150/28,01 = 5,355 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Объём

V = nRT/P = 5,355·8,314·288,1/650 = 19,74 L

Ответ

V = 19,74 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 8,196 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Плотность

ρ = 500·39,95/(8,314·293,1) = 8,196 kg/m³

Ответ

ρ = 8,196 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 40,07 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 1·2,1·(170 − 110) = 126 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 126/(2·4,18) = 40,07 °C

Ответ

t_out = 40,07 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 2,196 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 3·3,6·(140 − 80) = 648 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,15)·648 = 550,8 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 550,8/(4,18·60) = 2,196 kg/s

Ответ

ṁ_c = 2,196 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 29,92 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 773,1·1568/4000 = 303,1 K = 29,92 °C

Ответ

T_L = 29,92 °C

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,05593 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277,1/(308,1 − 277,1) = 8,94

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0,5/8,94 = 0,05593 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,05593 kW

7.Газовые циклы

Ответ: q_in = 757,1 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температуры

T₂ = 290·19^0,4 = 941,7 K

T₃ = 1,8·941,7 = 1695 K

Подведённая теплота при постоянном давлении

q_in = 1,005·(1695 − 941,7) = 757,1 kJ/kg

Ответ

q_in = 757,1 kJ/kg

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 387,5 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T₂ = 310·20^0,2857 = 729,6 K

T₄ = 1400/20^0,2857 = 594,8 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(729,6 − 310) = 421,7 kJ/kg

w_t = 1,005·(1400 − 594,8) = 809,2 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 809,2 − 421,7 = 387,5 kJ/kg

Ответ

w_net = 387,5 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 52,11%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1