Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 50 L содержит 460 g газа (Ar) при 5 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 460 gM = 39,95 g/molV = 50 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (He) при 100 kPa и 130 °C, считая его идеальным.

M = 4,003 g/molP = 100 kPaT = 130 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (лёгкое масло) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 100 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 5% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Ct: 15 → 85 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 250 °C и холодным при 20 °C. Она получает 800 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 250 °CT_L = 20 °CQ_H = 800 kJ

W_max = kJ

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Две машины Карно работают последовательно. Машина A получает теплоту от резервуара при 950 °C и отдаёт теплоту промежуточному резервуару при температуре T_m. Машина B забирает всю эту теплоту и отдаёт теплоту резервуару при 30 °C. Обе машины совершают одинаковую работу. Найдите T_m в °C.

T_H = 950 °CT_L = 30 °C

T_m = °C

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 18 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 1,8. В начале сжатия температура воздуха 310 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите подведённую теплоту q_in на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 18r_c = 1,8T₁ = 310 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 8. Воздух поступает в компрессор при 288 K, а в турбину — при 1100 K. Обе машины изоэнтропные. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 288 KT₃ = 1100 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 532,5 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 460/39,95 = 11,51 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Давление

P = nRT/V = 11,51·8,314·278,1/0,05 = 532,5 kPa

Ответ

P = 532,5 kPa

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 0,1194 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273,15 = 403,1 K

Плотность

ρ = 100·4,003/(8,314·403,1) = 0,1194 kg/m³

Ответ

ρ = 0,1194 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 52,68 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 1,5·2,1·(150 − 100) = 157,5 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 157,5/(1·4,18) = 52,68 °C

Ответ

t_out = 52,68 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 0,7013 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 2·3,6·(140 − 110) = 216 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,05)·216 = 205,2 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 205,2/(4,18·70) = 0,7013 kg/s

Ответ

ṁ_c = 0,7013 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 351,7 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 250 + 273,15 = 523,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/523,1 = 43,96 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,4396·800 = 351,7 kJ

Ответ

W_max = 351,7 kJ

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_m = 490 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 950 + 273,15 = 1223 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Равная работа

W = Q·(1 − T_low/T_high), а Q/T одинаково для всех резервуаров, поэтому W пропорциональна перепаду температур.

T_m = (1223 + 303,1)/2 = 763,2 K = 490 °C

Ответ

T_m = 490 °C

7.Газовые циклы

Ответ: q_in = 792 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температуры

T₂ = 310·18^0,4 = 985,1 K

T₃ = 1,8·985,1 = 1773 K

Подведённая теплота при постоянном давлении

q_in = 1,005·(1773 − 985,1) = 792 kJ/kg

Ответ

q_in = 792 kJ/kg

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 260,3 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T₂ = 288·8^0,2857 = 521,7 K

T₄ = 1100/8^0,2857 = 607,2 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(521,7 − 288) = 234,9 kJ/kg

w_t = 1,005·(1100 − 607,2) = 495,2 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 495,2 − 234,9 = 260,3 kJ/kg

Ответ

w_net = 260,3 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 47,43%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1