Термодинамика 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Энергетический баланс

Явная теплота: Q = ṁ·c_p·ΔT
Скрытая теплота: Q = ṁ·h_fg
Смешение: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Вода: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Газовые циклы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов: T₂/T₁ = r^k−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
КПД цикла Отто: η = 1 − 1/r^k−1
КПД цикла Дизеля: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
КПД цикла Брайтона: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Подведённая теплота: Отто: c_v(T₃ − T₂) Дизель, Брайтон: c_p(T₃ − T₂)
Полезная работа цикла Брайтона: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Изоэнтропные КПД: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Холодный воздух: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Тренировочные задачи

1.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 10 g газа (CO₂) при 800 kPa и 25 °C? Считайте газ идеальным.

m = 10 gM = 44,01 g/molP = 800 kPaT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (Ar) при 700 kPa и 50 °C, считая его идеальным.

M = 39,95 g/molP = 700 kPaT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Энергетический балансСредняя

Горячий теплоноситель (гликолевая смесь) охлаждает воду в противоточном теплообменнике без потерь тепла. Найдите температуру воды на выходе t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Энергетический балансСложная

Горячий теплоноситель (этанол) нагревает воду в теплообменнике, который теряет в окружающую среду 15% теплоты, отданной горячим потоком. Найдите необходимый расход воды ṁ_c.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 100 °Ct: 10 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)потери = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 4400 kJ теплоты от резервуара при 400 °C и отдаёт 2047 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 400 °CQ_H = 4400 kJQ_L = 2047 kJ

T_L = °C

6.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос поддерживает в доме 22 °C, когда на улице 2 °C, и подаёт в дом 7 kW теплоты. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

7.Газовые циклыСредняя

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 18 и степень предварительного расширения r_c = v₃/v₂ = 2. В начале сжатия температура воздуха 300 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите подведённую теплоту q_in на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 18r_c = 2T₁ = 300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Газовые циклыСложная

Газотурбинная установка работает по циклу Брайтона со степенью повышения давления в компрессоре 14. Воздух поступает в компрессор при 310 K, а в турбину — при 1500 K. Обе машины изоэнтропные. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) и c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w_net на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r_p = 14T₁ = 310 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Растворы

1.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 0,704 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 10/44,01 = 0,2272 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Объём

V = nRT/P = 0,2272·8,314·298,1/800 = 0,704 L

Ответ

V = 0,704 L

2.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 10,41 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Плотность

ρ = 700·39,95/(8,314·323,1) = 10,41 kg/m³

Ответ

ρ = 10,41 kg/m³

3.Энергетический баланс

Ответ: t_out = 49,45 °C

Энергетический баланс теплообменника: без потерь ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Теплота, отданная горячим потоком

Q = 0,5·3,6·(130 − 90) = 72 kW

Теплота, полученная водой

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 72/(0,5·4,18) = 49,45 °C

Ответ

t_out = 49,45 °C

4.Энергетический баланс

Ответ: ṁ_c = 0,5671 kg/s

Энергетический баланс с потерями: отданная теплота = полученная теплота + потерянная теплота.

Отданная теплота

Q_h = 0,5·2,44·(180 − 100) = 97,6 kW

Теплота, дошедшая до воды

Q_c = (1 − 0,15)·97,6 = 82,96 kW

Расход воды

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 82,96/(4,18·35) = 0,5671 kg/s

Ответ

ṁ_c = 0,5671 kg/s

5.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 40,02 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 400 + 273,15 = 673,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 673,1·2047/4400 = 313,2 K = 40,02 °C

Ответ

T_L = 40,02 °C

6.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,4743 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Наилучший возможный COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 275,1) = 14,76

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/14,76 = 0,4743 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,4743 kW

7.Газовые циклы

Ответ: q_in = 958,1 kJ/kg

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения r_c = v₃/v₂: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Температуры

T₂ = 300·18^0,4 = 953,3 K

T₃ = 2·953,3 = 1907 K

Подведённая теплота при постоянном давлении

q_in = 1,005·(1907 − 953,3) = 958,1 kJ/kg

Ответ

q_in = 958,1 kJ/kg

8.Газовые циклы

Ответ: w_net = 447,6 kJ/kg

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления r_p = P₂/P₁: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k и η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Полезная работа w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно w_s/η_c, а турбина отдаёт η_t·w_s.

Изоэнтропные температуры

T₂ = 310·14^0,2857 = 658,9 K

T₄ = 1500/14^0,2857 = 705,7 K

Работа компрессора и турбины

w_c = 1,005·(658,9 − 310) = 350,7 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 705,7) = 798,3 kJ/kg

Полезная работа

w_net = 798,3 − 350,7 = 447,6 kJ/kg

Ответ

w_net = 447,6 kJ/kg

Коэффициент обратной работы: w_c/w_t = 43,93%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/thermodynamics-1