Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
0,9 kgk = 30 N/mA = 14 cmx = 3 cm

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 30 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 14 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 0,9 kgk = 30 N/mA = 14 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
2,5 kgk = 1100 N/m250 m/s

Пуля массой 8 g, летящая со скоростью 250 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1100 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 8 gv = 250 m/sM = 2,5 kgk = 1100 N/m
A = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
85 dB?10 m40 m

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 10 m от него равен 85 dB. Найдите уровень β2 на расстоянии 40 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β1 = 85 dBr1 = 10 mr2 = 40 m
β2 = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
λ = ?13,6°

Решётка с 400 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 1 для спектральной линии под углом 13,6° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 400 mm⁻¹θ1 = 13,6°m = 1
λ = nm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,7895 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(30/0,9) = 5,774 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 5,774·√(0,14² − 0,03²) = 0,7895 m/s

Ответ

v = 0,7895 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: A = 3,808 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,008·250/2,508 = 0,7974 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1100/2,508) = 20,94 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,7974/20,94 = 0,03808 m = 3,808 cm

Ответ

A = 3,808 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: β2 = 72,96 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (10/40)² = 0,0625

Новый уровень

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0,0625) = 72,96 dB

Ответ

β2 = 72,96 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

4.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 587,9 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 13,6°/1 = 587,9 nm

Ответ

λ = 587,9 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics