Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 20 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 2,1 kgk = 20 N/mA = 4 cmx = 1 cm

v = m/s

2.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3 kg на пружине с k = 120 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3 kgk = 120 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

3.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 100 Hz: гармоника номер 2; волны бегут по ней со скоростью 120 m/s. Найдите её длину L.

v = 120 m/sn = 2f₂ = 100 Hz

L = m

4.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает под прямым углом на решётку с 300 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₂ максимума порядка 2.

N = 300 mm⁻¹λ = 450 nmm = 2

θ₂ = °

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,1195 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/2,1) = 3,086 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 3,086·√(0,04² − 0,01²) = 0,1195 m/s

Ответ

v = 0,1195 m/s

2.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 4 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(120/3) = 6,325 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,1·6,325² = 4 m/s²

Ответ

a_max = 4 m/s²

3.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 1,2 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 120/100 = 1,2 m

Длина

L = nλ/2 = 2·1,2/2 = 1,2 m

Ответ

L = 1,2 m

4.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₂ = 15,66 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 2·450 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,27

θ = 15,66°

Ответ

θ₂ = 15,66°

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics