Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 2,4 kg на пружине с k = 150 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 9 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.
m = 2,4 kgk = 150 N/mA = 9 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 0,8 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 120 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.
m = 0,8 kgk = 120 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Малый громкоговоритель излучает звуковую мощность 0,2 W одинаково во все стороны. Найдите уровень интенсивности звука β на расстоянии 20 m.
P = 0,2 Wr = 20 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
Предмет находится в 25 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 10 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).
do = 25 cmR = 10 cm
m =
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: v = 0,6937 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(150/2,4) = 7,906 rad/s
Скорость в точке x
v = ω·√(A² − x²) = 7,906·√(0,09² − 0,02²) = 0,6937 m/s
Ответ
v = 0,6937 m/s
2.Пружины и маятники
Ответ: xmax = 13,08 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Положение равновесия и амплитуда
x₀ = m·g/k = 0,8·9,81/120 = 0,0654 m = A
Нижняя точка
xmax = 2A = 0,1308 m = 13,08 cm
Ответ
xmax = 13,08 cm
3.Волны, звук и оптика
Ответ: β = 76 dB
Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).
Интенсивность
I = P/(4πr²) = 3,979 × 10⁻⁵ W/m²
Уровень
β = 10·log₁₀(3,979 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 76 dB
Ответ
β = 76 dB
4.Волны, звук и оптика
Ответ: m = 0,1667
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Фокусное расстояние
f = −R/2 = −5 cm
Уравнение зеркала
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−5) − 1/25
di = −4,167 cm
Увеличение
m = −(−4,167)/25 = 0,1667
Ответ
m = 0,1667
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics