Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 2,9 kg на пружине с k = 70 N/m оттягивают на 12 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,1 s (со знаком).
m = 2,9 kgk = 70 N/mA = 12 cmt = 0,1 s
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз на пружине с k = 90 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 13 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 1 cm от положения равновесия.
k = 90 N/mA = 13 cmx = 1 cm
U = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Источник частотой 300 Hz, движущийся со скоростью 20 m/s, и наблюдатель, движущийся со скоростью 20 m/s, удаляются друг от друга. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.
f = 300 Hzv = 343 m/svs = 20 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
Дифракционная решётка имеет 600 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 600 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок mmax светлого максимума, который можно увидеть?
N = 600 mm⁻¹λ = 600 nm
mmax =
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: v = −0,2781 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(70/2,9) = 4,913 rad/s
ω·t = 4,913·0,1 = 0,4913 rad
Скорость
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,12·4,913·sin(0,4913) = −0,2781 m/s
Ответ
v = −0,2781 m/s
2.Пружины и маятники
Ответ: U = 0,0045 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Полная энергия
E = ½·k·A² = ½·90·0,13² = 0,7605 J
Энергия пружины в точке x
U = ½·k·x² = ½·90·0,01² = 0,0045 J
Ответ
U = 0,0045 J
3.Волны, звук и оптика
Ответ: f′ = 266,9 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Формула Доплера
f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 300·(343 − 20)/(343 + 20)
f′ = 266,9 Hz
Ответ
f′ = 266,9 Hz
4.Волны, звук и оптика
Ответ: mmax = 2
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между штрихами
d = 1/600 mm = 1,667 µm
Наивысший порядок
m ≤ d/λ = 1,667 µm/0,6 µm = 2,778 → mmax = 2
Ответ
mmax = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics