Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
1,3 kgk = 160 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Груз массой 1,3 kg на пружине с k = 160 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 7 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

m = 1,3 kgk = 160 N/mA = 7 cmx = 6 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
2,5 kgk = 1300 N/m300 m/s

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 300 m/s, попадает в брусок массой 2,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 300 m/sM = 2,5 kgk = 1300 N/m
A = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
100 dB?5 m50 m

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 5 m от него равен 100 dB. Найдите уровень β2 на расстоянии 50 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β1 = 100 dBr1 = 5 mr2 = 50 m
β2 = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
SO10 m/sf = 30 kHz

Неподвижный датчик посылает ультразвук 30 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 10 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений fb (скорость звука 343 m/s).

f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,4 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(160/1,3) = 11,09 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 11,09·√(0,07² − 0,06²) = 0,4 m/s

Ответ

v = 0,4 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: A = 6,3 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·300/2,512 = 1,433 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1300/2,512) = 22,75 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 1,433/22,75 = 0,063 m = 6,3 cm

Ответ

A = 6,3 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: β2 = 80 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (5/50)² = 0,01

Новый уровень

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0,01) = 80 dB

Ответ

β2 = 80 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

4.Волны, звук и оптика

Ответ: fb = 1802 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 30000·(343 + 10)/343 = 30875 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 10) = 31802 Hz

Частота биений

fb = |f″ − f| = 1802 Hz

Ответ

fb = 1802 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics