Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,7 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
T = 1,7 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
Пуля массой 20 g, летящая со скоростью 300 m/s, попадает в брусок массой 0,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1400 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.
m = 20 gv = 300 m/sM = 0,5 kgk = 1400 N/m
A = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Струна, закреплённая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 250 Hz: гармоника номер 5; волны бегут по ней со скоростью 100 m/s. Найдите её длину L.
v = 100 m/sn = 5f5 = 250 Hz
L = m
4.Волны, звук и оптикаСложная
Свет с длиной волны 450 nm падает под прямым углом на решётку с 200 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ2 максимума порядка 2.
N = 200 mm⁻¹λ = 450 nmm = 2
θ2 = °
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: L = 0,7181 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Выразите длину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m
Ответ
L = 0,7181 m
2.Пружины и маятники
Ответ: A = 22,24 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Скорость после удара
V = m·v/(m + M) = 0,02·300/0,52 = 11,54 m/s
Угловая частота
ω = √(k/(m + M)) = √(1400/0,52) = 51,89 rad/s
Амплитуда
A = V/ω = 11,54/51,89 = 0,2224 m = 22,24 cm
Ответ
A = 22,24 cm
3.Волны, звук и оптика
Ответ: L = 1 m
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Длина волны
λ = v/f = 100/250 = 0,4 m
Длина
L = nλ/2 = 5·0,4/2 = 1 m
Ответ
L = 1 m
4.Волны, звук и оптика
Ответ: θ2 = 10,37 °
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между штрихами
d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m
Уравнение решётки
sin θ = mλ/d = 2·450 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,18
θ = 10,37°
Ответ
θ2 = 10,37°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics