Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
T = 0,8 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 2,9 kg на пружине с k = 360 N/m оттягивают на 13 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.
m = 2,9 kgk = 360 N/mA = 13 cm
E = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Предмет высотой 5 cm находится в 25 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите высоту изображения hi (отрицательную для перевёрнутого изображения).
ho = 5 cmdo = 25 cmf = 20 cm
hi = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 35 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 10 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).
f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: L = 0,159 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Выразите длину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,8/2π)² = 0,159 m
Ответ
L = 0,159 m
2.Пружины и маятники
Ответ: E = 3,042 J
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(360/2,9) = 11,14 rad/s
Энергия
E = ½·k·A² = ½·360·0,13² = 3,042 J
Ответ
E = 3,042 J
3.Волны, звук и оптика
Ответ: hi = −20 cm
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Формула тонкой линзы
1/di = 1/f − 1/do = 1/20 − 1/25
di = 100 cm
Увеличение и высота
m = −100/25 = −4
hi = −4·5 = −20 cm
Ответ
hi = −20 cm
4.Волны, звук и оптика
Ответ: f″ = 37102 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Частота у автомобиля
f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz
Частота эха
f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz
Ответ
f″ = 37102 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics