Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
L = ?

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 0,9 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 0,9 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
2,2 kgk = 330 N/m

Груз массой 2,2 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 330 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение xmax пружины в cm.

m = 2,2 kgk = 330 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Волны, звук и оптикаСредняя
FFdo​ = 50 cmf = 10 cm

Предмет находится в 50 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 cm. Найдите расстояние до изображения di. Используйте правило знаков 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 для рассеивающей линзы, di < 0 для мнимого изображения).

do = 50 cmf = 10 cm
di = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
λ = ?54,1°

Решётка с 600 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 3 для спектральной линии под углом 54,1° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 600 mm⁻¹θ3 = 54,1°m = 3
λ = nm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,2013 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,9/2π)² = 0,2013 m

Ответ

L = 0,2013 m
2.Пружины и маятники

Ответ: xmax = 13,08 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,2·9,81/330 = 0,0654 m = A

Нижняя точка

xmax = 2A = 0,1308 m = 13,08 cm

Ответ

xmax = 13,08 cm
3.Волны, звук и оптика

Ответ: di = 12,5 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/di = 1/f − 1/do = 1/10 − 1/50
di = 12,5 cm
FF50 cmf = 10 cm

Ход лучей

действительное, по другую сторону линзы

Ответ

di = 12,5 cm
4.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 450 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 1,667 × 10⁻⁶·sin 54,1°/3 = 450 nm

Ответ

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics