Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 20 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.
m = 1,6 kgk = 20 N/mA = 8 cmx = 6 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
Груз массой 0,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 130 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax груза.
m = 0,7 kgk = 130 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 515 Hz: гармоника номер 3. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.
v = 343 m/sn = 3f3 = 515 Hz
L = m
4.Волны, звук и оптикаСложная
Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 50 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 12 cm и линза 2 с f₂ = 5 cm. Предмет находится в 25 cm перед линзой 1. Найдите положение di2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).
f1 = 12 cmf2 = 5 cms = 50 cmdo = 25 cm
di2 = cm
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: v = 0,1871 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = √(20/1,6) = 3,536 rad/s
Скорость в точке x
v = ω·√(A² − x²) = 3,536·√(0,08² − 0,06²) = 0,1871 m/s
Ответ
v = 0,1871 m/s
2.Пружины и маятники
Ответ: vmax = 0,7199 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Положение равновесия и амплитуда
x₀ = m·g/k = 0,7·9,81/130 = 0,05282 m = A
Наибольшая скорость
Скорость наибольшая в положении равновесия.
ω = √(130/0,7) = 13,63 rad/s
vmax = A·ω = 0,05282·13,63 = 0,7199 m/s
Ответ
vmax = 0,7199 m/s
3.Волны, звук и оптика
Ответ: L = 0,4995 m
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Длина волны
λ = v/f = 343/515 = 0,666 m
Длина
L = nλ/4 = 3·0,666/4 = 0,4995 m
Ответ
L = 0,4995 m
4.Волны, звук и оптика
Ответ: di2 = 6,14 cm
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Изображение линзы 1
1/di1 = 1/12 − 1/25 → di1 = 23,08 cm
Предмет для линзы 2
do2 = 50 − 23,08 = 26,92 cm
Итоговое изображение
1/di2 = 1/5 − 1/26,92 → di2 = 6,14 cm
Ответ
di2 = 6,14 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics