Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
T = 1,8 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Пружины и маятникиСложная
Тело совершает гармонические колебания с периодом 2,1 s и амплитудой 17 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 8,5 cm?
T = 2,1 sA = 17 cmx = 8,5 cm
t = s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Предмет высотой 2 cm находится в 40 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 30 cm. Найдите высоту изображения hi (отрицательную для перевёрнутого изображения).
ho = 2 cmdo = 40 cmf = −30 cm
hi = cm
4.Волны, звук и оптикаСложная
Неподвижный датчик посылает ультразвук 35 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 20 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений fb (скорость звука 343 m/s).
f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: L = 0,8051 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Выразите длину
L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m
Ответ
L = 0,8051 m
2.Пружины и маятники
Ответ: t = 0,175 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = 2π/T = 2π/2,1 = 2,992 rad/s
Выразите время
0,5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,5) = 0,5236 rad
t = 0,5236/2,992 = 0,175 s
Ответ
t = 0,175 s
3.Волны, звук и оптика
Ответ: hi = 0,8571 cm
Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.
Формула тонкой линзы
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−30) − 1/40
di = −17,14 cm
Увеличение и высота
m = −(−17,14)/40 = 0,4286
hi = 0,4286·2 = 0,8571 cm
Ответ
hi = 0,8571 cm
4.Волны, звук и оптика
Ответ: fb = 4334 Hz
Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.
Частота у автомобиля
f′ = 35000·(343 + 20)/343 = 37041 Hz
Частота эха
f″ = f′·343/(343 − 20) = 39334 Hz
Частота биений
fb = |f″ − f| = 4334 Hz
Ответ
fb = 4334 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics