Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
t (s)x (cm)0,85 s

Груз массой 2,6 kg на пружине с k = 150 N/m оттягивают на 14 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,85 s (со знаком).

m = 2,6 kgk = 150 N/mA = 14 cmt = 0,85 s
x = cm
2.Пружины и маятникиСложная
1 kgk = 330 N/mA = 3 cm

Груз массой 1 kg на пружине с k = 330 N/m оттягивают на 3 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.

m = 1 kgk = 330 N/mA = 3 cm
amax = m/s²
3.Волны, звук и оптикаСредняя
θc = ?90°крон, n1​ = 1,50воздух, n2​ = 1,00

Свет идёт в среде «крон» (n = 1,50) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θc, за пределом которого происходит полное отражение.

n1 = 1,50n2 = 1,00
θc = °
4.Волны, звук и оптикаСложная
SO10 m/sf = 25 kHz

Неподвижный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 10 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений fb (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: x = 13,79 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/2,6) = 7,596 rad/s
ω·t = 7,596·0,85 = 6,456 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(6,456) = 13,79 cm

Ответ

x = 13,79 cm
2.Пружины и маятники

Ответ: amax = 9,9 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(330/1) = 18,17 rad/s

Наибольшее ускорение

amax = A·ω² = 0,03·18,17² = 9,9 m/s²

Ответ

amax = 9,9 m/s²
3.Волны, звук и оптика

Ответ: θc = 41,81 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,50 = 0,6667

Критический угол

θc = arcsin(0,6667) = 41,81°

Ответ

θc = 41,81°
4.Волны, звук и оптика

Ответ: fb = 1502 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 + 10)/343 = 25729 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 10) = 26502 Hz

Частота биений

fb = |f″ − f| = 1502 Hz

Ответ

fb = 1502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics