Пружины и маятники
- Груз на пружине
- T = 2π·√(m/k)
- Маятник
- T = 2π·√(L/g)
- Угловая частота
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Наибольшие скорость и ускорение
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Энергия
- E = ½·k·A²
Волны и оптика: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Волны, звук и оптика
- Скорость волны
- v = fλ, T = 1/f
- Струна
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Уровень звука
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Точечный источник
- I = P/(4πr²)
- Стоячие волны
- струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
- Эффект Доплера
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Показатель преломления
- n = c/v, λ = λ0/n
- Закон Снеллиуса
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Критический угол
- sin θc = n2/n1
- Оптическое волокно
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Линзы и зеркала
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Двойная щель
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Решётка
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Одиночная щель
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Метод
- Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
- Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
- Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
2Тренировочные задачи
1.Пружины и маятникиСредняя
Длина математического маятника 1,7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.
L = 1,7 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Пружины и маятникиСложная
Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,9 s и амплитудой 16 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 6,4 cm?
T = 0,9 sA = 16 cmx = 6,4 cm
t = s
3.Волны, звук и оптикаСредняя
Одна машина создаёт уровень звука 60 dB в некоторой точке. Найдите уровень β в этой точке, когда одновременно работают 3 одинаковых машин (некогерентные источники).
β1 = 60 dBn = 3
β = dB
4.Волны, звук и оптикаСложная
Дифракционная решётка имеет 500 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 550 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок mmax светлого максимума, который можно увидеть?
N = 500 mm⁻¹λ = 550 nm
mmax =
3Растворы
1.Пружины и маятники
Ответ: T = 2,616 s
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Период маятника
T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s
Ответ
T = 2,616 s
2.Пружины и маятники
Ответ: t = 0,05895 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Угловая частота
ω = 2π/T = 2π/0,9 = 6,981 rad/s
Выразите время
0,4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,4) = 0,4115 rad
t = 0,4115/6,981 = 0,05895 s
Ответ
t = 0,05895 s
3.Волны, звук и оптика
Ответ: β = 64,77 dB
Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).
Суммарная интенсивность
I = 3·I₁
Уровень
β = 60 + 10·log₁₀(3) = 64,77 dB
Ответ
β = 64,77 dB
4.Волны, звук и оптика
Ответ: mmax = 3
Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Расстояние между штрихами
d = 1/500 mm = 2 µm
Наивысший порядок
m ≤ d/λ = 2 µm/0,55 µm = 3,636 → mmax = 3
Ответ
mmax = 3
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics