Волны и оптика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пружины и маятники

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.Пружины и маятникиСредняя
0,7 kgk = 270 N/mA = 18 cmx = 6 cm

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 270 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

m = 0,7 kgk = 270 N/mA = 18 cmx = 6 cm
v = m/s
2.Пружины и маятникиСложная
0,6 kgk = 240 N/mA = 12 cm

Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 240 N/m оттягивают на 12 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,6 kgk = 240 N/mA = 12 cm
E = J
3.Волны, звук и оптикаСредняя
L = 0,75 mn = 1

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,75 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f1 для режима: основной тон (первая гармоника).

v = 343 m/sn = 1L = 0,75 m
f1 = Hz
4.Волны, звук и оптикаСложная
λ = 600 nmd = 0,5 mmL = 1,2 my = ?

Свет с длиной волны 600 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,2 m. Найдите расстояние y1 от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 1.

λ = 600 nmd = 0,5 mmL = 1,2 mm = 1
y1 = mm

3Растворы

1.Пружины и маятники

Ответ: v = 3,333 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(270/0,7) = 19,64 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 19,64·√(0,18² − 0,06²) = 3,333 m/s

Ответ

v = 3,333 m/s
2.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,728 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(240/0,6) = 20 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·240·0,12² = 1,728 J

Ответ

E = 1,728 J
3.Волны, звук и оптика

Ответ: f1 = 228,7 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,75/1 = 1,5 m

Частота

f = v/λ = 343/1,5 = 228,7 Hz

Ответ

f1 = 228,7 Hz
4.Волны, звук и оптика

Ответ: y1 = 1,44 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1,2/(0,5 × 10⁻³) = 1,44 mm

Полоса номер 1

y1 = 1·1,44 = 1,44 mm

Ответ

y1 = 1,44 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics